Respuesta: D

Solución:

Encontremos una expresión en forma cerrada para cada uno de los decimales periódicos. Podemos escribir como $$\begin{aligned} 0.\overline{\underline{a}\underline{b}\underline{c}}&=\frac{100a+10b+c}{999},\\ 0.\overline a&=\frac a9,\quad 0.\overline b=\frac b9,\\ 0.\overline c&=\frac c9. \end{aligned}$$

De esto, vemos que es una sucesión geométrica infinita con primer término y razón Usando la fórmula para la suma de una sucesión geométrica infinita, obtenemos que esto es igual a De manera similar, nota que podemos escribir como Como antes, esto es igual a Por lo tanto, Sustituyendo todos estos valores en la condición, obtenemos Multiplicando todo por $999$ se obtiene $$100a+10b+c=37(a+b+c),$$ $$7a=3b+4c.$$

Nota que podemos expresar $a\in\{1,2,\ldots,9\},$ como $b,c$ Sustituyendo esto, obtenemos que se simplifica a Todas las soluciones donde funcionan. La expresión permanece constante si aumentamos en y disminuimos en . También podríamos disminuir en y aumentar en . Aplicando este principio a las primeras ternas se obtienen como soluciones más. Por lo tanto, hay un total de $13$ soluciones. $$\begin{gathered} (1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),\\ (4,4,4),(4,8,1),(5,1,8),\\ (5,5,5),(5,9,2),(6,2,9),\\ (6,6,6),(7,7,7),(8,8,8),\\ (9,9,9). \end{gathered}$$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.