Question

El número de seis dígitos $\underline{2}\,\underline{0}\,\underline{2}\,\underline{1}\,\underline{0}\,\underline{A}$ es primo solo para un dígito $A.$ ¿Cuánto vale $A$ ?

The six-digit number $\underline{2}\,\underline{0}\,\underline{2}\,\underline{1}\,\underline{0}\,\underline{A}$ is prime for only one digit $A.$ What is $A?$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Respuesta: E

Conceptos:divisibilidad dígitos primo

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

Observemos que $A$ no puede ser par, pues entonces el número sería divisible entre $2.$

$A$ tampoco puede ser $5,$ pues eso haría que el número fuera divisible entre $5.$

Si $A$ fuera $1$ o $7,$ la suma de los dígitos sería $6$ y $12$ , respectivamente.

Eso haría al número divisible entre $3,$ por lo que se descartan esos dos valores de $A$ .

Finalmente, si $A$ es $3,$ el número completo es $202103.$ La diferencia de las sumas de dígitos alternados es $2 + 2 - 1 - 3 = 0,$ , lo que significa que el número es divisible entre $11.$

Cada opción salvo $9$ hace que el número sea compuesto. Como el problema dice que funciona exactamente un dígito, debe ser $A=9.$ (En efecto, la división de prueba por los primos a lo sumo $\sqrt{202109}<450$ confirma que $202109$ es primo.)

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that $A$ cannot be even, as then the number would be divisible by $2.$

$A$ also cannot be $5,$ as that would make the number divisible by $5.$

If $A$ equaled $1$ or $7,$ then the sum of the digits of the number would be $6$ and $12$ respectively.

This would make the number divisible by $3,$ so that rules out $A$ equaling either of these numbers.

Finally, if $A$ equals $3,$ then the whole number becomes $202103.$ If we look at the difference of the sums of alternating digits, we get $2 + 2 - 1 - 3 = 0,$ which means the number is divisible by $11.$

Every choice except $9$ makes the number composite. Because the problem states that exactly one digit works, that digit must be $A=9.$ (Indeed, trial division by the primes at most $\sqrt{202109}<450$ confirms that $202109$ is prime.)

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 5

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

El Problema 5 en otros años