2021 AMC 10A Fall Problema 17

Question

Un arquitecto está construyendo una estructura que colocará pilares verticales en los vértices del hexágono regular

ABCDEF,

que yace horizontalmente sobre el suelo. Los seis pilares sostendrán un panel solar plano que no será paralelo al suelo. Las alturas de los pilares en

A,

B,

y

C

son

12,

9,

y

10

metros, respectivamente. ¿Cuál es la altura, en metros, del pilar en

E

?

An architect is building a structure that will place vertical pillars at the vertices of regular hexagon

ABCDEF,

which is lying horizontally on the ground. The six pillars will hold up a flat solar panel that will not be parallel to the ground. The heights of pillars at

A,

B,

and

C

are

12,

9,

and

10

meters, respectively. What is the height, in meters, of the pillar at

E?

9

6\sqrt{3}

8\sqrt{3}

17

12\sqrt{3}

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica polígono regular sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Un panel plano significa que la altura es lineal sobre el plano del suelo.

A flat panel means height is linear over the ground plane

Pista grande:

Usa coordenadas de hexágono regular y una función

ux+vy+w

.

Use regular-hexagon coordinates and a function

ux+vy+w

Solución:

Coloca un hexágono regular en coordenadas con

A=(-1,0),

B=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}),

C=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}),

y

E=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3}{2}).

Como el panel solar es plano, la altura es una función afín

h(x,y)=ux+vy+w.

A partir de

h(A)=12,

h(B)=9,

y

h(C)=10,

restando las dos últimas ecuaciones se obtiene

u=1.

Entonces

-u+w=12,

así que

w=13.

Usando

h(B)=9

se obtiene

-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}v+13=9,

así que

\sqrt3v=-7.

Por lo tanto

\begin{aligned} h(E) &=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}v+13 \\ &=\frac{1}{2}+\frac{7}{2}+13 \\ &=17. \end{aligned}

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Put a regular hexagon in coordinates with

A=(-1,0),

B=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}),

C=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}),

and

E=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt3}{2}).

Because the solar panel is flat, the height is an affine function

h(x,y)=ux+vy+w.

From

h(A)=12,

h(B)=9,

and

h(C)=10,

subtracting the last two equations gives

u=1.

Then

-u+w=12,

so

w=13.

Using

h(B)=9

gives

-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}v+13=9,

so

\sqrt3v=-7.

Therefore

\begin{aligned} h(E) &=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{2}v+13 \\ &=\frac{1}{2}+\frac{7}{2}+13 \\ &=17. \end{aligned}

Thus, D is the correct answer.