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2021 AMC 10B Spring Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2021 AMC 10B Spring a continuación y luego compara tu respuesta con la solución en video y solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 10B Spring, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

Una hoja de papel cuadrada tiene lado 11 y vértices A,B,C,A,B,C, y DD en ese orden. Como se muestra en la figura, el papel se dobla de modo que el vértice CC toca el lado AD‾\overline{AD} en el punto C′,C', y el lado BC‾\overline{BC} corta al lado AB‾\overline{AB} en el punto E.E. Supón que C′D=13.C'D = \frac{1}{3}. ¿Cuál es el perímetro del triángulo △AEC′\triangle AEC'?

A square piece of paper has side length 11 and vertices A,B,C,A,B,C, and DD in that order. As shown in the figure, the paper is folded so that vertex CC meets edge AD‾\overline{AD} at point C′,C', and edge BC‾\overline{BC} intersects edge AB‾\overline{AB} at point E.E. Suppose that C′D=13.C'D = \frac{1}{3}. What is the perimeter of △AEC′?\triangle AEC'?

2 2

1+233 1+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}

136 \dfrac{13}{6}

1+343 1 + \dfrac{3}{4}\sqrt{3}

73 \dfrac{7}{3}

Respuesta: A
Conceptos:plegado de papelgeometría analítica
Nivel de dificultad: 2230
Solución en video:
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Solución escrita:

Usa coordenadas con A=(0,1),A=(0,1), B=(0,0),B=(0,0), C=(1,0),C=(1,0), y D=(1,1).D=(1,1). Como C′D=13,C'D=\frac13, tenemos C′=(23,1),C'=(\frac23,1), así que AC′=23.AC'=\frac23.

El doblez refleja CC a C′,C', así que la imagen del lado BCBC es la recta que pasa por C′C' y E.E. Reflejar B=(0,0)B=(0,0) respecto a la mediatriz de CC′CC' da (−215,25).(-\frac{2}{15},\frac25). La recta que pasa por este punto y C′C' corta a ABAB en E=(0,12).E=(0,\frac12).

Por lo tanto AE=12,AE=\frac12, y

EC′=(23)2+(12)2=56.EC'=\sqrt{\left(\frac23\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac56.

El perímetro de △AEC′\triangle AEC' es

12+23+56=2.\frac12+\frac23+\frac56=2.

Por lo tanto, la respuesta es A.

Use coordinates with A=(0,1),A=(0,1), B=(0,0),B=(0,0), C=(1,0),C=(1,0), and D=(1,1).D=(1,1). Since C′D=13,C'D=\frac13, we have C′=(23,1),C'=(\frac23,1), so AC′=23.AC'=\frac23.

The fold reflects CC to C′,C', so the image of side BCBC is the line through C′C' and E.E. Reflecting B=(0,0)B=(0,0) across the perpendicular bisector of CC′CC' gives (−215,25).(-\frac{2}{15},\frac25). The line through this point and C′C' meets ABAB at E=(0,12).E=(0,\frac12).

Thus AE=12,AE=\frac12, and

EC′=(23)2+(12)2=56.EC'=\sqrt{\left(\frac23\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac56.

The perimeter of △AEC′\triangle AEC' is

12+23+56=2.\frac12+\frac23+\frac56=2.

Thus, the answer is A .

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