Cuando un estudiante multiplicó el número $66$ por el decimal periódico donde $a$ y $b$ son cifras, no se dio cuenta de la notación y simplemente multiplicó $66$ por $\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b}.$ Más tarde descubrió que su resultado es $0.5$ menor que el resultado correcto. ¿Cuál es el número de $2$ cifras $\underline{a} \ \underline{b}$? $$\underline{1}.\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{a} \ \underline{b}\ldots=\underline{1}.\overline{\underline{a} \ \underline{b}},$$

Respuesta: E

Conceptos:decimal periódicosucesión geométrica

Nivel de dificultad: 1370

AMC 8AMC 10AMC 12AIME

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos expresar $N=10a+b,$ como una suma geométrica infinita: Por lo tanto, podemos usar la fórmula para la suma de una serie geométrica: También sabemos que $a$ $b.$ $$1.\overline{ab}=1+\frac{N}{99}$$ $$1.ab=1+\frac{N}{100}.$$

Entonces $0.5,$ $N=75.$ $$66\left(\frac{N}{99}-\frac{N}{100}\right) =\frac{N}{150}=0.5.$$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let $N=10a+b,$ the two-digit integer formed by the digits $a$ and $b.$ Then $$1.\overline{ab}=1+\frac{N}{99}$$ while the terminating decimal the student used is $$1.ab=1+\frac{N}{100}.$$

The correct product exceeds the student's product by $0.5,$ so $$66\left(\frac{N}{99}-\frac{N}{100}\right) =\frac{N}{150}=0.5.$$ Hence $N=75.$

Thus, E is the correct answer.