Question

Todas las raíces del polinomio son enteros positivos, posiblemente repetidos. ¿Cuál es el valor de $B$ ? $\begin{aligned} &z^6-10z^5+Az^4+Bz^3\\ &\quad+Cz^2+Dz+16 \end{aligned}$

All the roots of the polynomial $\begin{aligned} &z^6-10z^5+Az^4+Bz^3\\ &\quad+Cz^2+Dz+16 \end{aligned}$ are positive integers, possibly repeated. What is the value of $B?$

$-88$

$-80$

$-64$

$-41$

$-40$

Respuesta: A

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 1540

Solución en video:

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Solución escrita:

Por las fórmulas de Vieta, las seis raíces tienen suma $10$ y producto $16.$ Como el producto es una potencia de $2,$ toda raíz entera positiva es una potencia de $2.$ Al distribuir los cuatro factores de $2$ entre seis raíces, la menor suma posible se obtiene cuando cuatro raíces son $2$ y dos raíces son $1$ ; esa suma ya es $10.$ Por tanto, las raíces son $1,1,2,2,2,2.$

El coeficiente $B$ es el negativo de la suma de todos los productos de tres raíces. Elegir cero, una o dos de las dos raíces iguales a $1$ da $\begin{aligned} B&=-\left(\binom43 2^3+2\binom42 2^2\right.\\ &\qquad\left.+\binom41 2\right)\\ &=-88. \end{aligned}$

Así, A es la respuesta correcta.

By Vieta's formulas, the six roots have sum $10$ and product $16.$ Because the product is a power of $2,$ every positive integer root is a power of $2.$ Distributing the four factors of $2$ among six roots gives the least possible sum when four roots are $2$ and two roots are $1$ ; that sum is already $10.$ Hence the roots are $1,1,2,2,2,2.$

The coefficient $B$ is the negative of the sum of all products of three roots. Choosing zero, one, or two of the two roots equal to $1$ gives $\begin{aligned} B&=-\left(\binom43 2^3+2\binom42 2^2\right.\\ &\qquad\left.+\binom41 2\right)\\ &=-88. \end{aligned}$

Thus, A is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 14

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1540

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Solución escrita:

El Problema 14 en otros años