Question

La figura de abajo muestra un cuadrado y cuatro triángulos equiláteros; cada triángulo tiene un lado sobre un lado del cuadrado, cada triángulo tiene longitud de lado $2$ y los terceros vértices de los triángulos se encuentran en el centro del cuadrado. La región dentro del cuadrado pero fuera de los triángulos está sombreada. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

The figure below shows a square and four equilateral triangles, with each triangle having a side lying on a side of the square, such that each triangle has side length $2$ and the third vertices of the triangles meet at the center of the square. The region inside the square but outside the triangles is shaded. What is the area of the shaded region?

$4$

$12 - 4\sqrt{3}$

$3\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$

$16 - 4\sqrt{3}$

Respuesta: B

Conceptos:descomposición de áreas triángulo equilátero triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1330

Solución:

La altura del triángulo es $2$ usando triángulos $\sqrt3$ , así que la base total es $2\sqrt3$ La parte de la base en cada lado que no está en la región blanca es $12$ así que la parte correspondiente a cada triángulo es

Esto da $\frac{\sqrt3}{4}(2^2)=\sqrt3$ triángulos en total con base y altura así que el área combinada es $12-4\sqrt3.$

Así, la respuesta es B.

Each equilateral triangle has side length $2$ , so its altitude is $\sqrt3$ . Because that altitude runs from a side of the square to its center, the square has side length $2\sqrt3$ and area $12$ .

Each of the four equilateral triangles has area $\frac{\sqrt3}{4}(2^2)=\sqrt3$ . Therefore the shaded area is $12-4\sqrt3.$

Thus, the answer is B .

2019 AMC 10B Problema 8

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1330

Solución:

El Problema 8 en otros años