Question

El triángulo $ABC$ está en el primer cuadrante. Los puntos $A,$ $B,$ y $C$ se reflejan respecto a la recta $y=x$ en los puntos $A',$ $B',$ y $C',$ respectivamente. Supón que ninguno de los vértices del triángulo está sobre la recta $y=x.$ ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no siempre es verdadera?

Triangle $ABC$ lies in the first quadrant. Points $A,$ $B,$ and $C$ are reflected across the line $y=x$ to points $A',$ $B',$ and $C',$ respectively. Assume that none of the vertices of the triangle lie on the line $y=x.$ Which of the following statements is not always true?

El triángulo $A'B'C'$ está en el primer cuadrante.

Triangle $A'B'C'$ lies in the first quadrant.

Los triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ tienen la misma área.

Triangles $ABC$ and $A'B'C'$ have the same area.

La pendiente de la recta $AA'$ es $-1.$

The slope of line $AA'$ is $-1.$

Las pendientes de las rectas $AA'$ y $CC'$ son iguales.

The slopes of lines $AA'$ and $CC'$ are the same.

Las rectas $AB$ y $A'B'$ son perpendiculares entre sí.

Lines $AB$ and $A'B'$ are perpendicular to each other.

Respuesta: E

Conceptos:transformación geometría analítica pendiente

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

La reflexión respecto a $y=x$ lleva $(x,y)$ a $(y,x)$ . Por tanto, conserva el primer cuadrante y también el área, así que A y B siempre son verdaderas.

La dirección desde $(x,y)$ hasta su imagen $(y,x)$ es $(y-x,x-y)$ , cuya pendiente es $-1$ porque $x\ne y$ . Por consiguiente, C y D también son siempre verdaderas.

Para E, tomemos $A=(2,1)$ , $B=(3,2)$ , y $C=(4,1)$ . Estos puntos satisfacen todas las condiciones, pero $AB$ y $A'B'$ tienen ambos pendiente $1$ , de modo que las dos rectas son paralelas y no perpendiculares.

Así, la respuesta es E.

Reflection across $y=x$ sends $(x,y)$ to $(y,x)$ . It therefore preserves the first quadrant and preserves area, so A and B are always true.

The direction from $(x,y)$ to its image $(y,x)$ is $(y-x,x-y)$ , whose slope is $-1$ because $x\ne y$ . Thus C and D are always true as well.

For E, take $A=(2,1)$ , $B=(3,2)$ , and $C=(4,1)$ . These points satisfy all the conditions, but $AB$ and $A'B'$ both have slope $1$ , so the two lines are parallel rather than perpendicular.

Thus, the answer is E .

2019 AMC 10B Problema 5

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

El Problema 5 en otros años