Question

Dos rectas con pendientes $\frac{1}{2}$ y $2$ se cortan en $(2, 2).$ ¿Cuál es el área del triángulo encerrado por estas dos rectas y la recta $x + y = 10$ ?

Two lines with slopes $\frac{1}{2}$ and $2$ intersect at $(2, 2).$ What is the area of the triangle enclosed by these two lines and the line $x + y = 10?$

$4$

$4\sqrt{2}$

$6$

$8$

$6\sqrt{2}$

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

Primero hallemos las ecuaciones de las dos rectas. Usando la forma pendiente-intersección, sabemos que tienen la forma $(2,2)$ . $\begin{aligned} y&=\frac12x+1,\\ y&=2x-2. \end{aligned}$

Para la primera recta, sabemos que $x+y=10$ , por lo que obtenemos $(6,4)$ $(4,6)$

De manera similar, para la segunda recta obtenemos $(2,2),(6,4),$ lo que nos da $(4,6)$ $2\sqrt2$ $(5,5)$ $(2,2)$ $3\sqrt2$

Nuestras dos rectas son ahora y . Podemos reescribir como . Sustituyendo esto en la primera recta se obtiene De manera similar, para la segunda recta, Por lo tanto, los tres vértices del triángulo son y . Observa que estos vértices forman un triángulo isósceles; la fórmula de la distancia da los tres lados como y . El punto medio de la base es , y aplicando de nuevo la fórmula de la distancia obtenemos que la altura es . Por lo tanto, C es la respuesta correcta. $\frac12(2\sqrt2)(3\sqrt2)=6.$

The two lines through $(2,2)$ have equations $\begin{aligned} y&=\frac12x+1,\\ y&=2x-2. \end{aligned}$

Their intersections with $x+y=10$ are $(6,4)$ and $(4,6)$ , respectively.

Thus the vertices are $(2,2),(6,4),$ and $(4,6)$ . The segment joining the last two points has length $2\sqrt2$ , its midpoint is $(5,5)$ , and the distance from $(2,2)$ to that midpoint is $3\sqrt2$ .

The area is therefore $\frac12(2\sqrt2)(3\sqrt2)=6.$ Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 7

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

El Problema 7 en otros años