Question

Se elige al azar un entero $N$ en el rango $1\leq N \leq 2020$ . ¿Cuál es la probabilidad de que el residuo de $N^{16}$ al dividirlo entre $5$ sea $1$ ?

An integer $N$ is selected at random in the range $1\leq N \leq 2020$ . What is the probability that the remainder when $N^{16}$ is divided by $5$ is $1?$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{4}{5}$

$1$

Respuesta: D

Conceptos:Pequeño teorema de Fermat exponenciación modular probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Por el pequeño teorema de Fermat, $N^4\equiv1\pmod5$ siempre que $N$ no sea divisible por $5.$ Por tanto, $N^{16}\equiv(N^4)^4\equiv1\pmod5.$

Hay $2020/5=404$ múltiplos de $5,$ así que hay $2020-404=1616$ valores permitidos de $N.$

Un múltiplo de $5$ tiene $N^{16}\equiv0\pmod5,$ así que no funciona ningún otro valor. Por tanto, la probabilidad es $\dfrac{1616}{2020}=\dfrac45.$

Así, la respuesta correcta es D.

By Fermat's Little Theorem, $N^4\equiv1\pmod5$ whenever $N$ is not divisible by $5.$ Therefore, $N^{16}\equiv(N^4)^4\equiv1\pmod5.$

There are $2020/5=404$ multiples of $5,$ so there are $2020-404=1616$ allowable values of $N.$

A multiple of $5$ has $N^{16}\equiv0\pmod5,$ so no other values work. Thus the probability is $\dfrac{1616}{2020}=\dfrac45.$

Thus, the correct answer is D .

2017 AMC 10B Problema 14

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

El Problema 14 en otros años