Question

¿Cuántos enteros de cuatro dígitos $abcd,$ con $a \neq 0,$ tienen la propiedad de que los tres enteros de dos dígitos $ab < bc < cd$ forman una sucesión aritmética creciente?

Uno de esos números es $4692,$ donde $a=4,$ $b=6,$ $c=9,$ y $d=2.$

How many four-digit positive integers $abcd,$ with $a \neq 0,$ have the property that the three two-digit integers $ab < bc < cd$ form an increasing arithmetic sequence?

One such number is $4692,$ where $a=4,$ $b=6,$ $c=9,$ and $d=2.$

$\ 9$

$\ 15$

$\ 16$

$\ 17$

$\ 20$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética dígitos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

De $ab<bc<cd$ , obtenemos $a\le b\le c.$ La condición de sucesión aritmética es $\begin{aligned} 2(10b+c)&=(10a+b) \\ &\quad +(10c+d), \end{aligned}$ que se reorganiza como $10(a-2b+c)=-b+2c-d.$ El lado derecho es múltiplo de $10.$ Como $b\le c$ , los cuatro símbolos son dígitos y $b\ge1,$ está entre $-9$ y $17$ . Por tanto, es $0$ o $10.$

Caso 1: $\begin{aligned} -b+2c-d&=10, \\ a&=2b-c+1. \end{aligned}$

Examinamos los valores posibles de $c.$

$c=6:$ $b+d=2, 2b-5=a.$ La primera ecuación da $b\leq 2$ , pero la segunda no puede cumplirse.

$c=7:$ $b+d=4, 2b-6=a.$ La primera ecuación da $b\leq 4$ y la segunda, $b > 3$ . Esto deja un caso: $b=4.$

$c=8:$ $b+d=6, 2b-7=a.$ La primera ecuación da $b\leq 6$ y la segunda, $b > 3$ . Esto deja tres casos: $b=4,5,6.$

$c=9:$ $b+d=8, 2b-8=a.$ La primera ecuación da $b\leq 8$ y la segunda, $b > 4$ . Esto deja cuatro casos: $b=5,6,7,8.$ En total, este caso da los números $\begin{gathered} 2470,1482,3581,5680, \\ 2593,4692,6791,8890, \end{gathered}$ , que son $8$ soluciones.

Caso 2: $-b+2c-d=0,$ $2b-a-c=0,$ lo que significa que los dígitos forman una sucesión aritmética.

Si la diferencia es $1,$ entonces $1 \leq a \leq 6$ , lo que da $6$ soluciones.

Si la diferencia es $2,$ entonces $1 \leq a \leq 3$ , lo que da $3$ soluciones. Una diferencia de al menos $3$ obligaría a que $d=a+3r>9.$ Así, este caso da $9$ soluciones.

En total, el número de soluciones es $8+9 = 17.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From $ab<bc<cd$ , we have $a\le b\le c.$ The arithmetic-sequence condition is $\begin{aligned} 2(10b+c)&=(10a+b) \\ &\quad +(10c+d), \end{aligned}$ which rearranges to $10(a-2b+c)=-b+2c-d.$ The right side is a multiple of $10.$ Because $b\le c$ and all four symbols are digits with $b\ge1,$ it lies between $-9$ and $17$ . Hence it is either $0$ or $10.$

Case 1: $\begin{aligned} -b+2c-d&=10, \\ a&=2b-c+1. \end{aligned}$

We can look at the possible values of $c.$

$c=6:$ $b+d=2, 2b-5=a.$ Thus, $b\leq 2$ from the first equation, but can't work for the second equation.

$c=7:$ $b+d=4, 2b-6=a.$ Thus, $b\leq 4$ from the first equation, and $b > 3$ from the second equation. This makes one case for $b=4.$

$c=8:$ $b+d=6, 2b-7=a.$ Thus, $b\leq 6$ from the first equation, and $b > 3$ from the second equation. This makes three cases for $b=4,5,6.$

$c=9:$ $b+d=8, 2b-8=a.$ Thus, $b\leq 8$ from the first equation, and $b > 4$ from the second equation. This makes four cases for $b=5,6,7,8.$ Altogether this case gives $\begin{gathered} 2470,1482,3581,5680, \\ 2593,4692,6791,8890, \end{gathered}$ for $8$ solutions.

Case 2: $-b+2c-d=0,$ $2b-a-c=0,$ which means the digits are an arithmetic sequence.

If the difference is $1,$ then $1 \leq a \leq 6$ makes $6$ solutions.

If the difference is $2,$ then $1 \leq a \leq 3$ makes $3$ solutions. A difference of at least $3$ would force $d=a+3r>9.$ This case therefore gives $9$ solutions.

In total, the number of solutions is $8+9 = 17.$

Thus, the correct answer is D .

2016 AMC 10B Problema 24

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

El Problema 24 en otros años