Question

Sean $a,$ $b,$ y $c$ tres números de una cifra distintos. ¿Cuál es el valor máximo de la suma de las raíces de la ecuación ? $\begin{aligned} &(x-a)(x-b) \\ &\quad +(x-b)(x-c)=0? \end{aligned}$

Let $a,$ $b,$ and $c$ be three distinct one-digit numbers. What is the maximum value of the sum of the roots of the equation $\begin{aligned} &(x-a)(x-b) \\ &\quad +(x-b)(x-c)=0? \end{aligned}$

$15$

$15.5$

$16$

$16.5$

$17$

Respuesta: D

Conceptos:cuadrática factorización optimización

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

Al factorizar el lado izquierdo, obtenemos $(x-b)(2x-a-c)=0.$ Por tanto, las raíces son $b$ y $\frac{a+c}{2},$ cuya suma es $b+\frac{a+c}{2}.$

El coeficiente de $b$ en esta suma es el doble del coeficiente de $a$ o $c,$ así que asignamos el dígito más grande a $b.$ Los siguientes dos dígitos distintos más grandes deben ser $a$ y $c.$

Tomando $b=9$ y $\{a,c\}=\{7,8\}$ , obtenemos $9+\frac{7+8}{2}=16.5.$

Así, la respuesta correcta es D.

Factoring the left-hand side gives $(x-b)(2x-a-c)=0.$ Thus the roots are $b$ and $\frac{a+c}{2},$ whose sum is $b+\frac{a+c}{2}.$

The coefficient of $b$ in this sum is twice the coefficient of either $a$ or $c,$ so assign the largest digit to $b.$ The next two largest distinct digits should be $a$ and $c.$

Taking $b=9$ and $\{a,c\}=\{7,8\}$ gives $9+\frac{7+8}{2}=16.5.$

Thus, the correct answer is D .

2015 AMC 10B Problema 14

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1280

Solución:

El Problema 14 en otros años