Question

Los números hexadecimales (base 16) se escriben usando los dígitos $0$ a $9$ , así como las letras $A$ a $F$ para representar $10$ a $15.$ Entre los primeros $1000$ enteros positivos, hay $n$ cuya representación hexadecimal contiene solo dígitos numéricos. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $n$ ?

Hexadecimal (base-16) numbers are written using numeric digits $0$ through $9$ as well as the letters $A$ through $F$ to represent $10$ through $15.$ Among the first $1000$ positive integers, there are $n$ whose hexadecimal representation contains only numeric digits. What is the sum of the digits of $n?$

$17$

$18$

$19$

$20$

$21$

Respuesta: E

Conceptos:base numérica dígitos conteo básico

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

En hexadecimal, $1000=3E8_{16}.$ Completamos cada representación más corta con ceros iniciales hasta tener tres dígitos. Cada cadena formada solo por dígitos desde $000_{16}$ hasta $399_{16}$ es como máximo $3E8_{16},$ y estas son todas las posibilidades.

El primer dígito tiene $4$ opciones y cada uno de los otros dos tiene $10$ opciones. Esto da $4\cdot10\cdot10=400$ cadenas, incluida $000_{16}.$ Al excluir el cero, queda $n=399.$

La suma de los dígitos de $399$ es $21.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

In hexadecimal, $1000=3E8_{16}.$ Pad each shorter representation to three digits with leading zeros. Every numeric-only string from $000_{16}$ through $399_{16}$ is at most $3E8_{16},$ and these are all the possibilities.

The first digit has $4$ choices, and each of the other two digits has $10$ choices. This gives $4\cdot10\cdot10=400$ strings, including $000_{16}.$ Excluding zero leaves $n=399.$

The sum of the digits in $399$ is $21.$

Thus, E is the correct answer.

2015 AMC 10A Problema 18

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

El Problema 18 en otros años