2013 AMC 10A Problema 18

Question

Sean los puntos

A=(0,0),

B=(1,2),

C=(3,3),

y

D=(4,0).

El cuadrilátero

ABCD

se divide en dos partes de igual área mediante una recta que pasa por

A.

Esta recta corta a

\overline{CD}

en el punto

\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),

donde las fracciones están reducidas. ¿Cuánto vale

p+q+r+s

?

Let points

A=(0,0),

B=(1,2),

C=(3,3),

and

D=(4,0).

Quadrilateral

ABCD

is cut into equal area pieces by a line passing through

A.

This line intersects

\overline{CD}

at point

\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),

where these fractions are in lowest terms. What is

p+q+r+s?

54

58

62

70

75

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica descomposición de áreas ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Primero calcula el área total de

ABCD

.

First compute the total area of

ABCD

Pista grande:

La recta de corte que pasa por

A

hace que

\triangle ADG

sea la mitad del área del cuadrilátero.

The cutting line through

A

makes

\triangle ADG

half the quadrilateral area

Solución:

Sea

G

el punto donde la recta de corte encuentra a

\overline{CD}

. Traza perpendiculares desde

B

,

C

, y

G

hasta el eje

x

, como en el diagrama.

Las áreas de

\triangle ABF

, el trapecio

BCEF

, y

\triangle CDE

son

1

,

5

, y

\frac32

, respectivamente, así que

[ABCD]=\frac{15}{2}

.

Por lo tanto

\triangle ADG

tiene área

\frac{15}{4}

. Como

AD=4

, la altura de

G

es

\frac{15}{8}

.

La recta

CD

tiene ecuación

y=-3x+12

, así que

\frac{15}{8}=-3x+12

, lo que da

x=\frac{27}{8}

. Por lo tanto

p+q+r+s

=27+8+15+8

=58

.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let the cutting line meet

\overline{CD}

at

G

. Drop perpendiculars from

B

,

C

, and

G

to the

x

-axis as in the diagram.

The areas of

\triangle ABF

, trapezoid

BCEF

, and

\triangle CDE

are

1

,

5

, and

\frac32

, respectively, so

[ABCD]=\frac{15}{2}

.

Thus

\triangle ADG

has area

\frac{15}{4}

. Since

AD=4

, the height of

G

is

\frac{15}{8}

.

The line

CD

has equation

y=-3x+12

, so

\frac{15}{8}=-3x+12

, giving

x=\frac{27}{8}

. Therefore

p+q+r+s

=27+8+15+8

=58

.

Thus, B is the correct answer.

2013 AMC 10A Problema 18

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años