Question

La curva cerrada de la figura está formada por $9$ arcos circulares congruentes, cada uno de longitud $\dfrac{2\pi}{3},$ donde cada uno de los centros de las circunferencias correspondientes está entre los vértices de un hexágono regular de lado $2.$ ¿Cuál es el área encerrada por la curva?

The closed curve in the figure is made up of $9$ congruent circular arcs each of length $\dfrac{2\pi}{3},$ where each of the centers of the corresponding circles is among the vertices of a regular hexagon of side $2.$ What is the area enclosed by the curve?

$2\pi+6$

$2\pi+4\sqrt{3}$

$3\pi+4$

$2\pi+3\sqrt{3}+2$

$\pi+6\sqrt{3}$

Respuesta: E

Conceptos:sector circular polígono regular descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1930

Solución:

Observa que la región encerrada por la curva pero fuera del hexágono consiste en $1$ sectores con ángulo $2\pi/3,$

Esto significa que juntos forman $2,$ circunferencias completas de radio $\pi+6\sqrt3.$ Ahora hay que hallar el área de la región que está dentro tanto del hexágono como de la curva. $6\left(\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=6\sqrt3.$

Esta área se puede hallar calculando el área del hexágono y restando las áreas de los sectores fuera de la curva. Hay tres de circunferencia que juntos forman una circunferencia completa. El área del hexágono está dada por El área buscada es entonces Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Each arc has radius $1$ and length $2\pi/3,$ so the corresponding circular sectors all have the same area. As the diagram shows, the sector pieces may be rearranged: everything added to the regular hexagon combines to exactly one unit circle.

The regular hexagon is made of six equilateral triangles of side $2,$ so its area is $6\left(\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=6\sqrt3.$ Adding the unit circle gives a total enclosed area of $\pi+6\sqrt3.$

Thus, E is the correct answer.

2012 AMC 10A Problema 18

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1930

Solución:

El Problema 18 en otros años