2007 AMC 10A Problema 17

Question

Supón que

m

y

n

son enteros positivos tales que

75m = n^3.

¿Cuál es el mínimo valor posible de

m + n

?

Suppose that

m

and

n

are positive integers such that

75m = n^3.

What is the minimum possible value of

m + n?

15

30

50

60

5700

En un cubo perfecto, el exponente de cada primo es múltiplo de

3

.

In a perfect cube, every prime’s exponent is a multiple of

3

Como

75 = 3 \cdot 5^2,

halla el menor

m

que haga que todos los exponentes sean múltiplos de

3

.

Since

75 = 3 \cdot 5^2,

find the smallest

m

making all exponents multiples of

3

Como

n^3 = 75m = 3 \cdot 5^2 \cdot m,

el exponente de cada factor primo debe ser múltiplo de tres.

El menor

m

así es

3^2 \cdot 5 = 45,

lo que da

n^3 = 3^3 \cdot 5^3

y

n = 15.

Entonces

m + n = 45 + 15 = 60.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since

n^3 = 75m = 3 \cdot 5^2 \cdot m,

every prime factor must occur a multiple of three times.

The smallest such

m

is

3^2 \cdot 5 = 45,

giving

n^3 = 3^3 \cdot 5^3

and

n = 15.

Then

m + n = 45 + 15 = 60.

Thus, the correct answer is D.

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