2003 AMC 10A Problema 18

Question

¿Cuál es la suma de los recíprocos de las raíces de la ecuación

\dfrac{2003}{2004}x + 1 + \dfrac{1}{x} = 0?

What is the sum of the reciprocals of the roots of the equation

\dfrac{2003}{2004}x + 1 + \dfrac{1}{x} = 0?

-\dfrac{2004}{2003}

-1

\dfrac{2003}{2004}

1

\dfrac{2004}{2003}

Respuesta: B

Conceptos:Fórmulas de Vieta cuadrática

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Multiplica todo por

x

para obtener una ecuación cuadrática

ax^2 + x + 1 = 0

con

a = \dfrac{2003}{2004}

.

Multiply through by

x

to get a quadratic

ax^2 + x + 1 = 0

with

a = \dfrac{2003}{2004}

Pista grande:

Si las raíces son

r

y

s,

su suma de recíprocos es

\dfrac{r + s}{rs},

y por Vieta

r + s = -\dfrac{1}{a},

rs = \dfrac{1}{a}

.

If the roots are

r

and

s,

their reciprocal sum is

\dfrac{r + s}{rs},

and by Vieta

r + s = -\dfrac{1}{a},

rs = \dfrac{1}{a}

Solución:

Sea

a = \dfrac{2003}{2004}.

Multiplicar la ecuación por

x

da

ax^2 + x + 1 = 0.

Si las raíces son

r

y

s,

entonces por las fórmulas de Vieta

r + s = -\dfrac{1}{a}

y

rs = \dfrac{1}{a}.

La suma de los recíprocos es

\dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{r + s}{rs} = \dfrac{-\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}} = -1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

a = \dfrac{2003}{2004}.

Multiplying the equation by

x

gives

ax^2 + x + 1 = 0.

If the roots are

r

and

s,

then by Vieta’s formulas

r + s = -\dfrac{1}{a}

and

rs = \dfrac{1}{a}.

The sum of reciprocals is

\dfrac{1}{r} + \dfrac{1}{s} = \dfrac{r + s}{rs} = \dfrac{-\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}} = -1.

Thus, the correct answer is B.