2001 AMC 10 Problema 24

Question

En el trapecio

ABCD,

\overline{AB}

y

\overline{CD}

son perpendiculares a

\overline{AD},

con

AB+CD=BC,

AB\lt CD,

y

AD=7.

¿Cuánto vale

AB\cdot CD

?

In trapezoid

ABCD,

\overline{AB}

and

\overline{CD}

are perpendicular to

\overline{AD},

with

AB+CD=BC,

AB\lt CD,

and

AD=7.

What is

AB\cdot CD?

12

12.25

12.5

12.75

13

Respuesta: B

Conceptos:trapecio Teorema de Pitágoras diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Traza una perpendicular desde

B

hasta

CD

en

E;

entonces

BE=AD=7

y

CE=CD-AB

.

Drop a perpendicular from

B

to

CD

at

E;

then

BE=AD=7

and

CE=CD-AB

Pista grande:

Usa

BC^2=BE^2+CE^2

con

BC=CD+AB

.

BC^2=BE^2+CE^2

with

BC=CD+AB

Solución:

Traza una perpendicular desde

B

hasta

CD,

que la corta en

E.

Entonces

BE=AD=7

y

CE=CD-AB.

Por el teorema de Pitágoras,

BC^2=BE^2+CE^2.

Como

BC=CD+AB,

\begin{aligned} &(CD+AB)^2 \\ &\quad {}-(CD-AB)^2 \\ &\quad =BE^2=49. \end{aligned}

El lado izquierdo es igual a

4\cdot AB\cdot CD,

así que

AB\cdot CD=\dfrac{49}{4}=12.25.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Drop a perpendicular from

B

to

CD,

meeting it at

E.

Then

BE=AD=7

and

CE=CD-AB.

By the Pythagorean theorem,

BC^2=BE^2+CE^2.

Since

BC=CD+AB,

\begin{aligned} &(CD+AB)^2 \\ &\quad {}-(CD-AB)^2 \\ &\quad =BE^2=49. \end{aligned}

The left side equals

4\cdot AB\cdot CD,

so

AB\cdot CD=\dfrac{49}{4}=12.25.

Thus, the correct answer is B.