Question

Una organización benéfica vende $140$ boletos benéficos por un total de $\$2001.$ Algunos boletos se venden a precio completo (una cantidad entera de dólares), y el resto se venden a mitad de precio. ¿Cuánto dinero recaudan los boletos a precio completo?

A charity sells $140$ benefit tickets for a total of $\$2001.$ Some tickets sell for full price (a whole dollar amount), and the rest sell for half price. How much money is raised by the full-price tickets?

$\$782$

$\$986$

$\$1158$

$\$1219$

$\$1449$

Respuesta: A

Conceptos:Ecuación diofántica factorización en primos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1490

Solución:

Sean $n$ boletos a precio completo vendidos a $p$ dólares cada uno. Entonces $np+(140-n)\dfrac p2=2001,$ así que $p(n+140)$ $=4002$ $=2\cdot3\cdot23\cdot29.$

Como $140\le n+140\le280,$ el único factor de $4002$ en ese rango es $174=2\cdot3\cdot29.$ Así que $n+140=174,$ lo que da $n=34$ y $p=23.$ Los boletos a precio completo recaudan $34\cdot23=782$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $n$ full-price tickets sell at $p$ dollars each. Then $np+(140-n)\dfrac p2=2001,$ so $p(n+140)$ $=4002$ $=2\cdot3\cdot23\cdot29.$

Since $140\le n+140\le280,$ the only factor of $4002$ in range is $174=2\cdot3\cdot29.$ So $n+140=174,$ giving $n=34$ and $p=23.$ The full-price tickets raise $34\cdot23=782$ dollars.

Thus, the correct answer is A.

2001 AMC 10 Problema 14

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1490

Solución:

El Problema 14 en otros años