Question

En el año 2001, Estados Unidos será sede de la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Sean $I,$ $M,$ y $O$ enteros positivos distintos tales que el producto $I \cdot M \cdot O = 2001.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de la suma $I + M + O$ ?

In the year 2001, the United States will host the International Mathematical Olympiad. Let $I,$ $M,$ and $O$ be distinct positive integers such that the product $I \cdot M \cdot O = 2001.$ What is the largest possible value of the sum $I + M + O?$

$23$

$55$

$99$

$111$

$671$

Respuesta: E

Conceptos:factorización en primos optimización

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Al factorizar se obtiene $2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29.$

Si un factor es $1,$ las parejas posibles para los otros dos son $(3,667),$ $(23,87),$ y $(29,69).$ Sus sumas correspondientes con $1$ son $671,$ $111,$ y $99.$ (La pareja $(1,2001)$ repetiría el factor $1.$ )

Si ningún factor es $1,$ los tres factores primos deben repartirse entre los tres enteros, lo que solo da $3,23,29$ y una suma mucho menor. Por tanto, la mayor suma posible es $1 + 3 + 667 = 671.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factoring gives $2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29.$

If one factor is $1,$ the possible pairs for the other two factors are $(3,667),$ $(23,87),$ and $(29,69).$ Their corresponding sums with $1$ are $671,$ $111,$ and $99.$ (The pair $(1,2001)$ would repeat the factor $1.$ )

If no factor is $1,$ all three prime factors must be split among the three integers, giving only $3,23,29$ and a much smaller sum. Therefore, the largest possible sum is $1 + 3 + 667 = 671.$

Thus, the correct answer is E.

2000 AMC 10 Problema 1

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 960

Solución:

El Problema 1 en otros años