Respuesta: 60

Solución:

Sean $a, b, c, d, e$ las longitudes de tangente desde $A, B, C, D, E$ hasta la circunferencia inscrita. Entonces $a + b = 5,$ $b + c = 6,$ $c + d = 6,$ $d + e = 6,$ y $e + a = 7.$ Las ecuaciones intermedias dan $d = b$ y $e = c,$ así que $c + a = 7;$ junto con $a + b = 5$ y $b + c = 6$ esto produce $a = 3,$ $b = d = 2,$ $c = e = 4.$ Si $r$ es el inradio, el ángulo interior en un vértice con longitud de tangente $t$ satisface $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{r}{t},$ y los semiángulos suman la mitad de $540^\circ:$ $$\begin{aligned} &\arctan\frac{r}{3} + 2\arctan\frac{r}{2} \\ &\quad {}+ 2\arctan\frac{r}{4} = 270^\circ. \end{aligned}$$

Sea $\beta = \arctan\frac{r}{2}$ y $\gamma = \arctan\frac{r}{4}.$ Entonces $\arctan\frac{r}{3} = 270^\circ - 2(\beta + \gamma),$ y como $\tan(270^\circ - \theta) = \cot\theta,$ obtenemos $\frac{r}{3} = \cot 2(\beta + \gamma).$ Con $T = \tan(\beta + \gamma) = \frac{r/2 + r/4}{1 - r^2/8}$ $= \frac{6r}{8 - r^2},$ la identidad $\frac{r}{3} = \frac{1 - T^2}{2T}$ se convierte en $2rT = 3(1 - T^2),$ y sustituyendo $T$ y eliminando denominadores se obtiene $$5r^4 - 84r^2 + 64 = 0,$$ de donde $r^2 = 16$ o $r^2 = \frac{4}{5}.$ Para $r^2 = \frac{4}{5}$ cada semiángulo está muy por debajo de $54^\circ,$ así que la suma de semiángulos queda muy lejos de $270^\circ;$ esta raíz es extraña. Por lo tanto, $r = 4.$

El semiperímetro es $s = \frac{5 + 6 + 6 + 6 + 7}{2} = 15,$ así que el área es $rs = 4 \cdot 15 = 60.$