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1994 AIME Problema 13

Intenta el Problema 13 del 1994 AIME a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1994 AIME, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

La ecuación x10+(13x−1)10=0x^{10}+(13x-1)^{10}=0 tiene 1010 raíces complejas r1,r_1, r1‾,\overline{r_1}, r2,r_2, r2‾,\overline{r_2}, r3,r_3, r3‾,\overline{r_3}, r4,r_4, r4‾,\overline{r_4}, r5,r_5, r5‾,\overline{r_5}, donde la barra indica conjugación compleja. Halla el valor de 1r1r1‾+1r2r2‾+1r3r3‾+1r4r4‾+1r5r5‾.\begin{aligned}&\frac1{r_1\overline{r_1}}+\frac1{r_2\overline{r_2}}+\frac1{r_3\overline{r_3}}\\&\quad+\frac1{r_4\overline{r_4}}+\frac1{r_5\overline{r_5}}.\end{aligned}
The equation x10+(13x−1)10=0x^{10}+(13x-1)^{10}=0 has 1010 complex roots r1,r_1, r1‾,\overline{r_1}, r2,r_2, r2‾,\overline{r_2}, r3,r_3, r3‾,\overline{r_3}, r4,r_4, r4‾,\overline{r_4}, r5,r_5, r5‾,\overline{r_5}, where the bar denotes complex conjugation. Find the value of 1r1r1‾+1r2r2‾+1r3r3‾+1r4r4‾+1r5r5‾.\begin{aligned}&\frac1{r_1\overline{r_1}}+\frac1{r_2\overline{r_2}}+\frac1{r_3\overline{r_3}}\\&\quad+\frac1{r_4\overline{r_4}}+\frac1{r_5\overline{r_5}}.\end{aligned}
Respuesta: 850
Conceptos:raíces de la unidadnúmero complejosumatoria
Nivel de dificultad: 2650
Pista pequeña:
Define x13x−1=ζ,\frac{x}{13x-1}=\zeta, donde ζ10=−1\zeta^{10}=-1
Set x13x−1=ζ,\frac{x}{13x-1}=\zeta, where ζ10=−1\zeta^{10}=-1
Pista grande:
Expresa 1∣x∣2\frac{1}{|x|^2} en términos de ζ+ζ‾\zeta+\overline\zeta y suma sobre los cinco pares conjugados
Express 1∣x∣2\frac{1}{|x|^2} in terms of ζ+ζ‾\zeta+\overline\zeta and sum over the five conjugate pairs
Solución:
Sea ζ=x13x−1,\zeta=\frac{x}{13x-1}, de modo que ζ10=−1\zeta^{10}=-1 y x=ζ13ζ−1,1x=13−ζ−1.\begin{aligned}x&=\frac{\zeta}{13\zeta-1},\\\frac1x&=13-\zeta^{-1}.\end{aligned} Como ∣ζ∣=1,|\zeta|=1, 1∣x∣2=∣13−ζ−1∣2=170−13(ζ+ζ‾).\begin{aligned}\frac1{|x|^2}&=|13-\zeta^{-1}|^2\\&=170-13(\zeta+\overline\zeta).\end{aligned} Sumar un valor por cada uno de los cinco pares conjugados da 5⋅1705\cdot170 menos 1313 veces la suma de las diez raíces de z10+1,z^{10}+1, que es 0.0. El valor pedido es 850.850.
Let ζ=x13x−1,\zeta=\frac{x}{13x-1}, so ζ10=−1\zeta^{10}=-1 and x=ζ13ζ−1,1x=13−ζ−1.\begin{aligned}x&=\frac{\zeta}{13\zeta-1},\\\frac1x&=13-\zeta^{-1}.\end{aligned} Since ∣ζ∣=1,|\zeta|=1, 1∣x∣2=∣13−ζ−1∣2=170−13(ζ+ζ‾).\begin{aligned}\frac1{|x|^2}&=|13-\zeta^{-1}|^2\\&=170-13(\zeta+\overline\zeta).\end{aligned} Summing one value for each of the five conjugate pairs gives 5⋅1705\cdot170 minus 1313 times the sum of all ten roots of z10+1,z^{10}+1, which is 0.0. The requested value is 850.850.
Problema 12#12
Examen completo
Problema 14#14

El Problema 13 en otros años

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