2002 AMC 12B 第 1 题

Question

集合

\{9

、

99

、

999

、

9999

、

\ldots

、

999999999\}

中九个数的算术平均数是一个

9

位数

M

，且

M

的所有数字互不相同。这个数不含哪个数字？

The arithmetic mean of the nine numbers in the set

\{9,

99,

999,

9999,

\ldots,

999999999\}

is a

9

-digit number

M,

all of whose digits are distinct. The number

M

does not contain the digit

0

2

4

6

8

答案：A

知识点：位值数字

难度评级：950

小提示：

平均数是

\dfrac{1}{9}(9+99+\cdots+999{,}999{,}999)

。

The mean is

\dfrac{1}{9}(9+99+\cdots+999{,}999{,}999)

大提示：

每一项除以

9

后，和变成

1+11+111+\cdots

；把它们相加，看哪个数字没有出现。

Dividing each term by

9

turns the sum into

1+11+111+\cdots

; add these and see which digit never appears

解答：

这九个数分别是

10^k-1

，所以它们的和为

9+99+\cdots+999{,}999{,}999

。把这个和除以

9

得到 M：

\begin{aligned} M &= 1+11+111+\cdots \\ &\quad {}+111{,}111{,}111 \\ &= 123{,}456{,}789\text{。} \end{aligned}

它的数字是

1

到

9

，因此缺少的数字是

0

。

所以正确答案是 A。

Each of the nine numbers is

10^k-1,

so their sum is

9+99+\cdots+999{,}999{,}999.

Dividing by

9,

\begin{aligned} M &= 1+11+111+\cdots \\ &\quad {}+111{,}111{,}111 \\ &= 123{,}456{,}789. \end{aligned}

Its digits are

1

through

9,

so the missing digit is

0.

Thus, the correct answer is A.

2002 AMC 12B 第 1 题

答案：A

难度评级：950

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 1 题