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2002 AMC 12B 第 1 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

1.

集合 {9\{9、 9999、 999999、 99999999、 …\ldots、 999999999}999999999\} 中九个数的算术平均数是一个 99 位数 MM，且 MM 的所有数字互不相同。这个数不含哪个数字？

The arithmetic mean of the nine numbers in the set {9,\{9, 99,99, 999,999, 9999,9999, …,\ldots, 999999999}999999999\} is a 99-digit number M,M, all of whose digits are distinct. The number MM does not contain the digit

00

22

44

66

88

答案：A
知识点：位值数字
难度评级：950
解答：

这九个数分别是 10k−110^k-1，所以它们的和为 9+99+⋯+999,999,9999+99+\cdots+999{,}999{,}999。把这个和除以 99 得到 M： 它的数字是 11 到 99，因此缺少的数字是 00。 M=1+11+111+⋯+111,111,111=123,456,789. \begin{aligned} M &= 1+11+111+\cdots \\ &\quad {}+111{,}111{,}111 \\ &= 123{,}456{,}789. \end{aligned}

所以正确答案是 A。

Each of the nine numbers is 10k−1,10^k-1, so their sum is 9+99+⋯+999,999,999.9+99+\cdots+999{,}999{,}999. Dividing by 9,9, M=1+11+111+⋯+111,111,111=123,456,789. \begin{aligned} M &= 1+11+111+\cdots \\ &\quad {}+111{,}111{,}111 \\ &= 123{,}456{,}789. \end{aligned} Its digits are 11 through 9,9, so the missing digit is 0.0.

Thus, the correct answer is A.

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