2002 AMC 12A 第 1 题

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1.

求下列方程的所有根之和。(2x+3)(x−4)+(2x+3)(x−6)=0。 \begin{aligned} &(2x+3)(x-4) \\ &\quad {}+(2x+3)(x-6)=0 \end{aligned}\text{。}
Compute the sum of all the roots of (2x+3)(x−4)+(2x+3)(x−6)=0. \begin{aligned} &(2x+3)(x-4) \\ &\quad {}+(2x+3)(x-6)=0. \end{aligned}
72\dfrac{7}{2}
44
55
77
1313
答案:A
知识点:因式分解韦达定理
小提示:
两项都有公因式 2x+32x+3。
Both terms share the factor 2x+32x+3
大提示:
方程可化为 (2x+3)(2x−10)=0(2x+3)(2x-10)=0。
The equation becomes (2x+3)(2x−10)=0(2x+3)(2x-10)=0
解答:
提出 2x+32x+3 得到 (2x+3)[(x−4)+(x−6)](2x+3)\big[(x-4)+(x-6)\big] =(2x+3)(2x−10)= (2x+3)(2x-10) =0= 0。
两个根为 −32-\dfrac{3}{2} 和 55,它们的和是 −32+5=72-\dfrac{3}{2} + 5 = \dfrac{7}{2}。
因此,正确答案是 A。
Factoring out 2x+32x+3 gives (2x+3)[(x−4)+(x−6)](2x+3)\big[(x-4)+(x-6)\big] =(2x+3)(2x−10)= (2x+3)(2x-10) =0.= 0.
The roots are −32-\dfrac{3}{2} and 5,5, whose sum is −32+5=72.-\dfrac{3}{2} + 5 = \dfrac{7}{2}.
Thus, the correct answer is A.
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