2025 AMC 10A Problema 7

Question

Supón que

a

y

b

son números reales. Cuando el polinomio

x^3 + x^2 + ax + b

se divide entre

x - 1,

el resto es

4.

Cuando el polinomio se divide entre

x - 2,

el resto es

6.

¿Cuánto vale

b - a

?

Suppose

a

and

b

are real numbers. When the polynomial

x^3 + x^2 + ax + b

is divided by

x - 1,

the remainder is

4.

When the polynomial is divided by

x - 2,

the remainder is

6.

What is

b - a?

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15

16

17

18

Respuesta: E

Conceptos:polinomio sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1250

Pista pequeña:

Por el teorema del resto, evalúa el polinomio en

x = 1

y

x = 2

.

By the Remainder Theorem, evaluate the polynomial at

x = 1

and

x = 2

Pista grande:

Esto da

a + b + 2 = 4

y

2a + b + 12 = 6

.

This gives

a + b + 2 = 4

and

2a + b + 12 = 6

Solución:

Por el teorema del resto, basta con sustituir. Obtenemos

p(1) = 1 + 1 + a + b = 4,

así que

a + b = 2.

Y

p(2) = 8 + 4 + 2a + b = 6,

así que

2a + b = -6.

Resta la primera de la segunda:

a = -8,

de donde

b = 10.

Entonces

b - a = 10 - (-8) = 18.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

By the Remainder Theorem, just plug in. We get

p(1) = 1 + 1 + a + b = 4,

so

a + b = 2.

And

p(2) = 8 + 4 + 2a + b = 6,

so

2a + b = -6.

Subtract the first from the second:

a = -8,

hence

b = 10.

Then

b - a = 10 - (-8) = 18.

Thus, E is the correct answer.