Question

Las bolas numeradas $1, 2, 3, \ldots$ se colocan en $5$ recipientes, etiquetados $A, B, C, D,$ y $E,$ mediante el siguiente procedimiento. La bola $1$ se coloca en $A,$ y las bolas $2$ y $3$ en $B.$ Las siguientes $3$ bolas se colocan en $C,$ las siguientes $4$ en $D,$ y así sucesivamente, volviendo a $A$ después de colocar bolas en $E.$ (Por ejemplo, las bolas $22, 23, \ldots, 28$ se colocan en $B$ en el paso $7$ .) ¿En qué recipiente se coloca la bola $2024$ ?

Balls numbered $1, 2, 3, \ldots$ are deposited in $5$ bins, labeled $A, B, C, D,$ and $E,$ using the following procedure. Ball $1$ is deposited in bin $A,$ and balls $2$ and $3$ are deposited in bin $B.$ The next $3$ balls are deposited in bin $C,$ the next $4$ in bin $D,$ and so on, cycling back to bin $A$ after balls are deposited in bin $E.$ (For example, balls numbered $22, 23, \ldots, 28$ are deposited in bin $B$ at step $7$ of this process.) In which bin is ball $2024$ deposited?

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

Respuesta: D

Conceptos:número triangular aritmética modular

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

El grupo $g$ contiene $g$ bolas, así que los primeros $g$ grupos consumen $\tfrac{g(g+1)}{2}$ de ellas. Ahora $\tfrac{63 \cdot 64}{2} = 2016$ y $\tfrac{64 \cdot 65}{2} = 2080,$ lo que coloca la bola $2024$ en el grupo $64$ (bolas $2017$ hasta $2080$ ). Las cajas se repiten en el ciclo $A, B, C, D, E,$ así que el grupo $g$ cae en la caja número $(g - 1) \bmod 5.$ Para $g = 64$ eso es $63 \bmod 5 = 3,$ la caja $D.$ Por lo tanto, la respuesta es D.

Group $g$ holds $g$ balls, so the first $g$ groups swallow $\tfrac{g(g+1)}{2}$ of them. Now $\tfrac{63 \cdot 64}{2} = 2016$ and $\tfrac{64 \cdot 65}{2} = 2080,$ which puts ball $2024$ in group $64$ (balls $2017$ through $2080$ ). The bins cycle $A, B, C, D, E,$ so group $g$ lands in bin number $(g - 1) \bmod 5.$ For $g = 64$ that's $63 \bmod 5 = 3,$ bin $D.$ Therefore, the answer is D.

2024 AMC 10B Problema 4

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

El Problema 4 en otros años