Question

El producto de tres enteros es $60.$ ¿Cuál es el menor valor positivo posible de la suma de los tres enteros?

The product of three integers is $60.$ What is the least possible positive sum of the three integers?

$2$

$3$

$5$

$6$

$13$

Respuesta: B

Conceptos:factor optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Un producto positivo proviene de tres enteros positivos o de un entero positivo y dos negativos. Tres enteros positivos tienen suma al menos $3.$ En el segundo caso, escribimos los números como $-x,-y,z,$ donde $x,y,z$ son positivos y $xyz=60.$ Una suma positiva exige $z \gt x+y \ge 2\sqrt{xy},$ así que $60/(xy) \gt 2\sqrt{xy}$ , y por tanto $xy \lt 10.$ Los posibles productos $xy$ que dividen a $60$ son $1,2,3,4,5,6.$ Al comprobar sus pares de factores, el menor valor positivo de $60/(xy)-x-y$ es $10-1-6=3.$ Así, $(-1)(-6)(10)=60,$ y no es posible una suma positiva menor que $3$ . Por lo tanto, la respuesta es B.

A positive product comes from three positive integers or one positive and two negative integers. Three positive integers have sum at least $3.$ In the second case write the numbers as $-x,-y,z,$ where $x,y,z$ are positive and $xyz=60.$ A positive sum requires $z \gt x+y \ge 2\sqrt{xy},$ so $60/(xy) \gt 2\sqrt{xy}$ and hence $xy \lt 10.$ The possible products $xy$ that divide $60$ are $1,2,3,4,5,6.$ Checking their factor pairs, the smallest positive value of $60/(xy)-x-y$ is $10-1-6=3.$ Thus $(-1)(-6)(10)=60,$ and no positive sum below $3$ is possible. Therefore, the answer is B.

2024 AMC 10A Problema 7

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

El Problema 7 en otros años