Question

¿Para cuántos valores de la constante $k$ el polinomio $x^{2}+kx+36$ tiene dos raíces enteras distintas?

For how many values of the constant $k$ will the polynomial $x^{2}+kx+36$ have two distinct integer roots?

$\ 6$

$\ 8$

$\ 9$

$\ 14$

$\ 16$

Respuesta: B

Conceptos:Fórmulas de Vieta factor enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1070

Solución:

Sean las raíces $r,s.$ Entonces: Así, $(x-r)(x-s)$ y $x^2-(r+s)x+rs.$ $rs=36$ $r+s=-k.$

Por lo tanto, necesitamos que $r$ y $s$ sean distintos y cumplan $rs = 36.$ Todos los pares de factores posibles son y $\pm\{1,36\},\pm\{2,18\},\pm\{3,12\}$ $\pm\{4,9\}.$

Cada uno de estos pares no ordenados produce un valor único de $k,$ así que hay $8$ valores posibles de $k.$

Así, la respuesta correcta es B.

Let the roots be $r,s.$ Expanding $(x-r)(x-s)$ gives $x^2-(r+s)x+rs.$ Comparing coefficients with the given polynomial yields $rs=36$ and $r+s=-k.$

Therefore, we need $r$ and $s$ distinct such that $rs = 36.$ All the possible factor pairs are $\pm\{1,36\},\pm\{2,18\},\pm\{3,12\}$ and $\pm\{4,9\}.$

Each of these unordered pairs produces a unique value for $k,$ so there are $8$ possible values for $k.$

Thus, B is the correct answer.

2022 AMC 10B Problema 7

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1070

Solución:

El Problema 7 en otros años