Question

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes racionales tal que, cuando $P(x)$ se divide entre el polinomio $x^2 + x + 1,$ el residuo es $x+2,$ y cuando $P(x)$ se divide entre el polinomio $x^2+1,$ el residuo es $2x+1.$ Existe un único polinomio de menor grado con estas dos propiedades. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los coeficientes de ese polinomio?

Let $P(x)$ be a polynomial with rational coefficients such that when $P(x)$ is divided by the polynomial $x^2 + x + 1,$ the remainder is $x+2,$ and when $P(x)$ is divided by the polynomial $x^2+1,$ the remainder is $2x+1.$ There is a unique polynomial of least degree with these two properties. What is the sum of the squares of the coefficients of that polynomial?

$\ 10$

$\ 13$

$\ 19$

$\ 20$

$\ 23$

Respuesta: E

Conceptos:polinomio sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

La primera condición sobre el residuo da $\begin{aligned}P(x)&=(x^2+x+1)Q(x)\\&\quad+x+2.\end{aligned}$ para algún polinomio $Q.$ Módulo $x^2+1,$ tenemos $x^2\equiv-1,$ así que $P(x)\equiv xQ(x)+x+2.$

Si $Q(x)=c$ es constante, este residuo es $(c+1)x+2,$ que no puede ser igual a $2x+1.$ Por lo tanto, $Q$ debe tener grado al menos $1.$

Tomemos ahora $Q(x)=ax+b.$ Al reducir módulo $x^2+1$ , se obtiene $P(x)\equiv(b+1)x+(2-a).$ Al comparar con $2x+1$ , resulta $a=b=1.$ Esto construye un polinomio de grado $3$ , y el fracaso del caso constante demuestra que el grado mínimo es $3$ .

Por tanto, $\begin{aligned}P(x)&=(x+1)(x^2+x+1)\\&\quad+x+2\\&=x^3+2x^2+3x+3.\end{aligned}$ La suma de los cuadrados de sus coeficientes es $1^2+2^2+3^2+3^2=23.$

Así, la respuesta es E.

The first remainder condition gives $\begin{aligned}P(x)&=(x^2+x+1)Q(x)\\&\quad+x+2.\end{aligned}$ for some polynomial $Q.$ Modulo $x^2+1,$ we have $x^2\equiv-1,$ so $P(x)\equiv xQ(x)+x+2.$

If $Q(x)=c$ is constant, this remainder is $(c+1)x+2,$ which cannot equal $2x+1.$ Thus $Q$ must have degree at least $1.$

Now let $Q(x)=ax+b.$ Reducing modulo $x^2+1$ gives $P(x)\equiv(b+1)x+(2-a).$ Matching this with $2x+1$ yields $a=b=1.$ This constructs a degree- $3$ polynomial, and the failed constant case proves that degree $3$ is minimal.

Therefore, $\begin{aligned}P(x)&=(x+1)(x^2+x+1)\\&\quad+x+2\\&=x^3+2x^2+3x+3.\end{aligned}$ The sum of the squares of its coefficients is $1^2+2^2+3^2+3^2=23.$

Thus, the answer is E .

2022 AMC 10B Problema 21

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

El Problema 21 en otros años