Question

Se dice que un entero positivo de dos dígitos es cariñoso si es igual a la suma de su dígito de las decenas (no nulo) y el cuadrado de su dígito de las unidades. ¿Cuántos enteros positivos de dos dígitos son cariñosos?

A two-digit positive integer is said to be cuddly if it is equal to the sum of its nonzero tens digit and the square of its units digit. How many two-digit positive integers are cuddly?

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Respuesta: B

Conceptos:dígitos Ecuación diofántica divisibilidad

Nivel de dificultad: 1210

Solución:

Sea $\underline{a} \ \underline{b}$ un número cariñoso de $2$ cifras.

Entonces, $10a + b = a + b^2.$ Al reordenar se obtiene $9a = b(b - 1).$ Como dos enteros consecutivos no pueden ser ambos divisibles por $3,$ uno de $b$ y $b-1$ debe contener los dos factores de $3.$

Para un dígito $b,$ esto deja $b=0,1,$ o $9.$ Las dos primeras opciones dan $a=0,$ que no produce un número de dos cifras. Si $b=9,$ entonces $a=8.$ Al comprobar, $89$ es un número cariñoso. Por tanto, hay exactamente $1$ número cariñoso de dos cifras.

Así, B es la respuesta correcta.

Let $\underline{a} \ \underline{b}$ be a $2$ -digit cuddly number.

Then $10a + b = a + b^2.$ Rearranging, we get $9a = b(b - 1).$ Because consecutive integers cannot both be divisible by $3,$ one of $b$ and $b-1$ must contain both factors of $3.$

For a digit $b,$ this leaves $b=0,1,$ or $9.$ The first two choices give $a=0,$ which does not make a two-digit number. If $b=9,$ then $a=8.$ Checking, we get that $89$ is a cuddly number. This shows that there is only $1$ two-digit cuddly number.

Thus, B is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 8

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1210

Solución:

El Problema 8 en otros años