Question

Cada una de $20$ bolas se arroja de manera independiente y al azar en uno de los $5$ recipientes. Sea $p$ la probabilidad de que algún recipiente termine con $3$ bolas, otro con $5$ bolas, y los otros tres con $4$ bolas cada uno. Sea $q$ la probabilidad de que cada recipiente termine con $4$ bolas. ¿Cuánto vale $\dfrac{p}{q}$ ?

Each of $20$ balls is tossed independently and at random into one of the $5$ bins. Let $p$ be the probability that some bin ends up with $3$ balls, another with $5$ balls, and the other three with $4$ balls each. Let $q$ be the probability that every bin ends up with $4$ balls. What is $\dfrac{p}{q}?$

$1$

$4$

$8$

$12$

$16$

Respuesta: E

Conceptos:combinaciones probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Las $5^{20}$ asignaciones de las bolas distinguibles a los recipientes etiquetados son equiprobables. Para $q,$ el número de asignaciones es $\frac{20!}{(4!)^5}.$

Para $p,$ elegimos el recipiente con $3$ bolas y el recipiente con $5$ bolas de $5\cdot4$ maneras. El número de asignaciones es entonces $5\cdot4\cdot\frac{20!}{3!5!(4!)^3}.$

El denominador común de las probabilidades se cancela, así que $\frac pq=20\cdot\frac{(4!)^2}{3!5!}=20\cdot\frac45=16.$

Por tanto, E es la respuesta correcta.

All $5^{20}$ assignments of the distinguishable balls to the labeled bins are equally likely. For $q,$ the number of assignments is $\frac{20!}{(4!)^5}.$

For $p,$ choose the bin with $3$ balls and the bin with $5$ balls in $5\cdot4$ ways. The number of assignments is then $5\cdot4\cdot\frac{20!}{3!5!(4!)^3}.$

The common probability denominator cancels, so $\frac pq=20\cdot\frac{(4!)^2}{3!5!}=20\cdot\frac45=16.$

Thus, E is the correct answer.

2021 AMC 10A Fall Problema 21

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

El Problema 21 en otros años