Question

La representación en base diez de $19!$ es $121,6T5,100,40M,832,H00,$ donde $T,$ $M,$ y $H$ denotan dígitos que no se dan. ¿Cuánto vale $T+M+H$ ?

The base-ten representation for $19!$ is $121,6T5,100,40M,832,H00,$ where $T,$ $M,$ and $H$ denote digits that are not given. What is $T+M+H?$

$3$

$8$

$12$

$14$

$17$

Respuesta: C

Conceptos:divisibilidad dígitos factorial

Nivel de dificultad: 1610

Solución:

Como $19!$ es divisible entre $1000$ , sus últimas tres cifras son cero, así que $H=0$ .

Como $19!$ es divisible entre $9$ , su suma de dígitos $33+T+M$ es divisible entre $9$ . Por tanto, $T+M\equiv3\pmod9$ , así que $T+M$ es $3$ o $12$ .

La divisibilidad entre $11$ dice que la suma alternada $T-M-7$ es divisible entre $11$ , por lo que $T-M\equiv7\pmod{11}$ . Al revisar las posibilidades de dígitos en estas dos congruencias, obtenemos $T=4$ y $M=8$ . Así, $T+M+H=4+8+0=12$ .

Por lo tanto, la respuesta es C.

Because $19!$ is divisible by $1000$ , its last three digits are zero, so $H=0$ .

Since $19!$ is divisible by $9$ , its digit sum $33+T+M$ is divisible by $9$ . Hence $T+M\equiv3\pmod9$ , so $T+M$ is either $3$ or $12$ .

Divisibility by $11$ says the alternating digit sum $T-M-7$ is divisible by $11$ , so $T-M\equiv7\pmod{11}$ . Checking the digit possibilities from these two congruences gives $T=4$ and $M=8$ . Therefore $T+M+H=4+8+0=12$ .

Thus, the answer is C .

2019 AMC 10B Problema 14

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1610

Solución:

El Problema 14 en otros años