Question

Una esfera con centro $O$ tiene radio $6.$ Un triángulo con lados de longitud $15, 15,$ y $24$ está situado en el espacio de modo que cada uno de sus lados es tangente a la esfera. ¿Cuál es la distancia entre $O$ y el plano determinado por el triángulo?

A sphere with center $O$ has radius $6.$ A triangle with sides of length $15, 15,$ and $24$ is situated in space so that each of its sides is tangent to the sphere. What is the distance between $O$ and the plane determined by the triangle?

$2\sqrt{3}$

$4$

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{5}$

$5$

Respuesta: D

Conceptos:esfera circunferencia inscrita, incentro e inradio Teorema de Pitágoras cometa

Nivel de dificultad: 1970

Solución:

La altura sobre el lado de longitud $24$ es $\sqrt{15^2-12^2}=9,$ así que el triángulo tiene área $\frac12\cdot24\cdot9=108$ y semiperímetro $27$ . Por tanto, su inradio es $r=\frac{108}{27}=4.$

Sea $P$ la proyección perpendicular de $O$ sobre el plano del triángulo, y sea $d=OP$ . Como las tres rectas de los lados son tangentes a la esfera, $P$ es el incentro y su distancia perpendicular a cada lado es $4$ . La distancia de $O$ a cada recta lateral es el radio de la esfera, $6$ , así que el teorema de Pitágoras da $d^2+4^2=6^2.$ Por tanto, $d=2\sqrt5.$

Así, D es la respuesta correcta.

The altitude to the side of length $24$ is $\sqrt{15^2-12^2}=9,$ so the triangle has area $\frac12\cdot24\cdot9=108$ and semiperimeter $27$ . Its inradius is therefore $r=\frac{108}{27}=4.$

Let $P$ be the perpendicular projection of $O$ onto the triangle's plane, and let $d=OP$ . Because all three side-lines are tangent to the sphere, $P$ is the incenter and its perpendicular distance to each side is $4$ . The distance from $O$ to each side-line is the sphere's radius, $6$ , so the Pythagorean theorem gives $d^2+4^2=6^2.$ Hence $d=2\sqrt5.$

Thus, D is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 21

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1970

Solución:

El Problema 21 en otros años