Question

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular con longitud de lado $1.$ Denota por $X,$ $Y,$ y $Z$ los puntos medios de los lados $AB,$ $CD,$ y $EF,$ respectivamente. ¿Cuál es el área del hexágono convexo cuyo interior es la intersección de los interiores de $\triangle ACE$ y $\triangle XYZ$ ?

Let $ABCDEF$ be a regular hexagon with side length $1.$ Denote by $X,$ $Y,$ and $Z$ the midpoints of sides $AB,$ $CD,$ and $EF,$ respectively. What is the area of the convex hexagon whose interior is the intersection of the interiors of $\triangle ACE$ and $\triangle XYZ?$

$\dfrac{3}{8}\sqrt{3}$

$\dfrac{7}{16}\sqrt{3}$

$\dfrac{15}{32}\sqrt{3}$

$\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\dfrac{9}{16}\sqrt{3}$

Respuesta: C

Conceptos:polígono regular triángulo equilátero descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2470

Solución:

El triángulo $XYZ$ es equilátero con lado $3/2,$ así que su área es $\dfrac{\sqrt3}{4}\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac{9\sqrt3}{16}.$

Los triángulos $ACE$ y $XYZ$ son concéntricos y están rotados $30^\circ$ entre sí. En cada vértice de $XYZ,$ los lados de $ACE$ recortan un triángulo $30$ - $60$ - $90$ cuya hipotenusa es el segmento de medio lado $AX=1/2.$ Sus catetos son $1/4$ y $\sqrt3/4,$ así que cada esquina tiene área $\sqrt3/32.$

Al quitar las tres esquinas, obtenemos $\dfrac{9\sqrt3}{16}-3\cdot\dfrac{\sqrt3}{32}=\dfrac{15\sqrt3}{32}.$ Por tanto, la respuesta es C.

The triangle $XYZ$ is equilateral with side $3/2,$ so its area is $\dfrac{\sqrt3}{4}\left(\dfrac32\right)^2=\dfrac{9\sqrt3}{16}.$

The triangles $ACE$ and $XYZ$ are concentric and rotated $30^\circ$ from each other. At each vertex of $XYZ,$ the sides of $ACE$ cut off a $30$ - $60$ - $90$ triangle whose hypotenuse is the half-side segment $AX=1/2.$ Its legs are $1/4$ and $\sqrt3/4,$ so each corner has area $\sqrt3/32.$

Removing the three corners gives $\dfrac{9\sqrt3}{16}-3\cdot\dfrac{\sqrt3}{32}=\dfrac{15\sqrt3}{32}.$ Therefore, the answer is C.

2018 AMC 10B Problema 24

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2470

Solución:

El Problema 24 en otros años