Question

Mary eligió un número par de $4$ dígitos $n.$ Escribió todos los divisores de $n$ en orden creciente de izquierda a derecha: $1, 2, \ldots, \frac{n}{2}, n.$ En cierto momento Mary escribió $323$ como divisor de $n.$ ¿Cuál es el menor valor posible del siguiente divisor escrito a la derecha de $323$ ?

Mary chose an even $4$ -digit number $n.$ She wrote down all the divisors of $n$ in increasing order from left to right: $1, 2, \ldots, \frac{n}{2}, n.$ At some moment Mary wrote $323$ as a divisor of $n.$ What is the smallest possible value of the next divisor written to the right of $323?$

$324$

$330$

$340$

$361$

$646$

Respuesta: C

Conceptos:factor mínimo común múltiplo factorización en primos

Nivel de dificultad: 2100

Solución:

Sea $d$ el siguiente divisor después de $323.$ Si $\gcd(d,323)=1,$ entonces $n$ es múltiplo de $323d>323^2>9999,$ lo que es imposible para un número de cuatro cifras. Por tanto, $\gcd(d,323)>1.$

Como $323=17\cdot19,$ este máximo común divisor es al menos $17.$ También divide a $d-323,$ así que $d-323\ge17$ y, por tanto, $d\ge340.$

Esta cota se alcanza: para $n=6460=2^2\cdot5\cdot17\cdot19,$ tanto $323$ como $340$ son divisores. La cota inferior muestra que no hay divisores entre ellos. Así, el menor divisor siguiente posible es $340,$ y C es la respuesta correcta.

Let $d$ be the next divisor after $323.$ If $\gcd(d,323)=1,$ then $n$ is a multiple of $323d>323^2>9999,$ impossible for a four-digit number. Thus $\gcd(d,323)>1.$

Since $323=17\cdot19,$ this gcd is at least $17.$ It also divides $d-323,$ so $d-323\ge17$ and hence $d\ge340.$

This bound is attained: for $n=6460=2^2\cdot5\cdot17\cdot19,$ both $323$ and $340$ are divisors. The lower bound shows there is no divisor between them. Thus the smallest possible next divisor is $340,$ and C is the correct answer.

2018 AMC 10B Problema 21

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2100

Solución:

El Problema 21 en otros años