Question

En el rectángulo $PQRS,$ $PQ = 8$ y $QR = 6.$ Los puntos $A$ y $B$ están en $PQ,$ los puntos $C$ y $D$ están en $QR,$ los puntos $E$ y $F$ están en $RS,$ y los puntos $G$ y $H$ están en $SP$ de modo que $AP = BQ < 4$ y el octágono convexo $ABCDEFGH$ es equilátero. La longitud de un lado de este octágono se puede expresar en la forma $k + m\sqrt{n},$ donde $k,$ $m,$ y $n$ son enteros y $n$ no es divisible entre el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $k + m + n$ ?

In rectangle $PQRS,$ $PQ = 8$ and $QR = 6.$ Points $A$ and $B$ lie on $PQ,$ points $C$ and $D$ lie on $QR,$ points $E$ and $F$ lie on $RS,$ and points $G$ and $H$ lie on $SP$ so that $AP = BQ < 4$ and the convex octagon $ABCDEFGH$ is equilateral. The length of a side of this octagon can be expressed in the form $k + m\sqrt{n},$ where $k,$ $m,$ and $n$ are integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. What is $k + m + n?$

$1$

$7$

$21$

$92$

$106$

Respuesta: B

Conceptos:Teorema de Pitágoras cuadrática

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado del octágono y sea $x=AP=BQ=(8-s)/2.$ Los triángulos rectángulos $\triangle APH$ y $\triangle BQC$ tienen la misma hipotenusa $s$ y un cateto de longitud $x,$ así que son congruentes; escribamos $PH=QC=y.$ Como $CD=HG=s$ y los lados verticales del rectángulo miden $6,$ se sigue que $DR=GS.$ Los triángulos rectángulos en $R$ y $S$ son entonces congruentes, así que $RE=SF.$ Como $RS=8$ y $EF=s,$ cada una de estas longitudes iguales es $(8-s)/2=x.$ Así, las cuatro esquinas recortadas tienen catetos $x$ y $y.$

Los lados iguales del octágono dan $8-2x=6-2y=\sqrt{x^2+y^2}.$ La primera igualdad da $y=x-1.$ Al sustituir y elevar al cuadrado, obtenemos $2x^2-30x+63=0,$ por lo que la raíz con $x<4$ es $x=(15-3\sqrt{11})/2.$

La longitud del lado es $8-2x=-7+3\sqrt{11},$ así que $k+m+n=-7+3+11=7.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $s$ be the octagon's side length and let $x=AP=BQ=(8-s)/2.$ The right triangles $\triangle APH$ and $\triangle BQC$ have the same hypotenuse $s$ and a leg of length $x,$ so they are congruent; write $PH=QC=y.$ Because $CD=HG=s$ and the vertical sides of the rectangle both have length $6,$ it follows that $DR=GS.$ The right triangles at $R$ and $S$ are then congruent, so $RE=SF.$ Since $RS=8$ and $EF=s,$ each of these equal lengths is $(8-s)/2=x.$ Thus all four cut corners have legs $x$ and $y.$

The equal octagon sides give $8-2x=6-2y=\sqrt{x^2+y^2}.$ The first equality gives $y=x-1.$ Substituting and squaring gives $2x^2-30x+63=0,$ so the root with $x<4$ is $x=(15-3\sqrt{11})/2.$

The side length is $8-2x=-7+3\sqrt{11},$ so $k+m+n=-7+3+11=7.$ Thus, B is the correct answer.

2018 AMC 10B Problema 17

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1890

Solución:

El Problema 17 en otros años