Question

El trapecio $ABCD$ tiene lados paralelos $\overline{AB}$ de longitud $33$ y $\overline {CD}$ de longitud $21 .$ Los otros dos lados tienen longitudes $10$ y $14 .$ Los ángulos $A$ y $B$ son agudos. ¿Cuál es la longitud de la diagonal más corta de $ABCD$ ?

Trapezoid $ABCD$ has parallel sides $\overline{AB}$ of length $33$ and $\overline {CD}$ of length $21 .$ The other two sides are of lengths $10$ and $14 .$ The angles $A$ and $B$ are acute. What is the length of the shorter diagonal of $ABCD ?$

$10\sqrt{6}$

$25$

$8\sqrt{10}$

$18\sqrt{2}$

$26$

Respuesta: B

Conceptos:trapecio Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1790

Solución:

Sean $E$ y $F$ los pies de las perpendiculares desde $D$ y $C$ hasta $AB$ , respectivamente. Como en la figura, tomemos $AD=10$ y $BC=14$ ; intercambiar los dos lados no paralelos solo refleja el trapecio.

Sea $AE=x$ y sea $h$ la altura. Como $EF=CD=21$ y $AB=33$ , tenemos $FB=12-x$ .

Los dos triángulos rectángulos dan $10^2=x^2+h^2$ y $14^2=(12-x)^2+h^2.$ Al restar, obtenemos $96=144-24x$ , así que $x=2$ y $h^2=96$ .

La diagonal más corta es $AC$ , cuyo desplazamiento horizontal es $AE+EF=2+21=23$ . Por tanto, $AC=\sqrt{23^2+96}=\sqrt{625}=25.$

Así, la respuesta correcta es B.

Let the feet of the perpendiculars from $D$ and $C$ to $AB$ be $E$ and $F$ , respectively. As drawn, take $AD=10$ and $BC=14$ ; interchanging the two legs only reflects the trapezoid.

Let $AE=x$ and let the altitude be $h$ . Since $EF=CD=21$ and $AB=33$ , we have $FB=12-x$ .

The two right triangles give $10^2=x^2+h^2$ and $14^2=(12-x)^2+h^2.$ Subtracting yields $96=144-24x$ , so $x=2$ and $h^2=96$ .

The shorter diagonal is $AC$ , whose horizontal displacement is $AE+EF=2+21=23$ . Therefore $AC=\sqrt{23^2+96}=\sqrt{625}=25.$

Thus, the correct answer is B .

2014 AMC 10B Problema 21

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1790

Solución:

El Problema 21 en otros años