Question

Un cuadrado en el plano coordenado tiene vértices cuyas coordenadas $y$ son $0,$ $1,$ $4,$ y $5.$ ¿Cuál es el área del cuadrado?

A square in the coordinate plane has vertices whose $y$ -coordinates are $0,$ $1,$ $4,$ and $5.$ What is the area of the square?

$16$

$17$

$25$

$26$

$27$

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica cuadrado (geometría)vector

Nivel de dificultad: 1720

Solución:

Los vértices opuestos de un cuadrado tienen el mismo promedio de coordenadas $y$ . Por tanto, las parejas opuestas deben tener coordenadas $y$ iguales a $(0,5)$ y $(1,4)$ , las dos parejas con la misma suma. En particular, el vértice con coordenada $y$ igual a $0$ es adyacente a los vértices con coordenadas $y$ iguales a $1$ y $4$ .

Sea un vértice $A=(0,0)$ , y sea su vértice adyacente con coordenada $y$ igual a $1$ el punto $B=(x,1)$ , con $x>0$ .

Al rotar el vector de lado $(x,1)$ en $90^\circ$ , obtenemos el siguiente vector de lado $(-1,x)$ , de modo que otro vértice tiene coordenada vertical $x$ . Las coordenadas verticales restantes son $4$ y $5$ , así que $x=4$ .

El cuadrado de la longitud del lado es $AB^2=x^2+1^2=4^2+1=17$ , que es el área del cuadrado.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Opposite vertices of a square have the same average $y$ -coordinate. Thus the opposite pairs must have $y$ -coordinates $(0,5)$ and $(1,4)$ , the two pairs with equal sum. In particular, a vertex with $y$ -coordinate $0$ is adjacent to vertices with $y$ -coordinates $1$ and $4$ .

Let one vertex be $A=(0,0)$ , and let its adjacent vertex with $y$ -coordinate $1$ be $B=(x,1)$ with $x>0$ .

Rotating the side vector $(x,1)$ by $90^\circ$ gives the next side vector $(-1,x)$ , so another vertex has y-coordinate $x$ . The remaining y-coordinates are $4$ and $5$ , hence $x=4$ .

The side length squared is $AB^2=x^2+1^2=4^2+1=17$ , which is the area of the square.

Thus, B is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 18

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1720

Solución:

El Problema 18 en otros años