Question

$12$ piratas acuerdan dividir un cofre del tesoro de monedas de oro entre ellos de la siguiente manera. El $k^{\text{th}}$ pirata en tomar una parte toma $\dfrac{k}{12}$ de las monedas que quedan en el cofre. El número de monedas que hay inicialmente en el cofre es el menor número para el cual este arreglo permite que cada pirata reciba un número entero positivo de monedas. ¿Cuántas monedas recibe el $12^{\text{th}}$ pirata?

A group of $12$ pirates agree to divide a treasure chest of gold coins among themselves as follows. The $k^{\text{th}}$ pirate to take a share takes $\dfrac{k}{12}$ of the coins that remain in the chest. The number of coins initially in the chest is the smallest number for which this arrangement will allow each pirate to receive a positive whole number of coins. How many coins does the $12^{\text{th}}$ pirate receive?

$720$

$1296$

$1728$

$1925$

$3850$

Respuesta: D

Conceptos:divisibilidad factorización en primos trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Trabajemos hacia atrás. Si quedan $n$ monedas para el pirata número $12$ , entonces, antes de que el pirata $k$ tomara su parte, el cofre tenía $\frac{12}{12-k}$ veces tantas monedas como después.

Por tanto, el número inicial de monedas es $n\cdot\frac{12^{11}}{11!}$ .

Como $\frac{12^{11}}{11!}=\frac{2^{14}3^7}{5\cdot7\cdot11}$ , el menor $n$ que hace entero el número inicial es $5^2\cdot7\cdot11=1925$ .

Este valor es alcanzable. El número de monedas que hay justo antes de que el pirata $k$ tome su parte es $2^{14}3^7\cdot \frac{11!}{(12-k)!\,12^{k-1}}.$ Para $k=1,2,\ldots,12$ , todas estas cantidades son enteras. La parte de cada pirata es la diferencia entre dos cantidades restantes consecutivas, así que cada parte también es entera.

Por tanto, el pirata número $12$ recibe $1925$ monedas, y D es la respuesta correcta.

Work backward. If $n$ coins remain for the $12$ th pirate, then before pirate $k$ took a share, the chest had $\frac{12}{12-k}$ times as many coins as it had afterward.

Therefore the initial number of coins is $n\cdot\frac{12^{11}}{11!}$ .

Since $\frac{12^{11}}{11!}=\frac{2^{14}3^7}{5\cdot7\cdot11}$ , the smallest $n$ that makes the initial number an integer is $5^2\cdot7\cdot11=1925$ .

This value is attainable. The number of coins present just before pirate $k$ takes a share is $2^{14}3^7\cdot \frac{11!}{(12-k)!\,12^{k-1}}.$ For $k=1,2,\ldots,12$ , all these amounts are integers. Each pirate's share is the difference between two consecutive remaining amounts, so every share is an integer as well.

Thus, the $12$ th pirate receives $1925$ coins, and D is the correct answer.

2013 AMC 10A Problema 21

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

El Problema 21 en otros años