2013 AMC 10A Problema 17

Question

A Daphne la visitan periódicamente sus tres mejores amigas: Alice, Beatrix y Claire. Alice la visita cada tres días, Beatrix la visita cada cuatro días, y Claire la visita cada cinco días.

Las tres amigas visitaron a Daphne ayer. ¿En cuántos días del siguiente periodo de

365

días la visitarán exactamente dos amigas?

Daphne is visited periodically by her three best friends: Alice, Beatrix, and Claire. Alice visits every third day, Beatrix visits every fourth day, and Claire visits every fifth day.

All three friends visited Daphne yesterday. How many days of the next

365

-day period will exactly two friends visit her?

48

54

60

66

72

Respuesta: B

Conceptos:mínimo común múltiplo inclusión-exclusión conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Cuenta los días de encuentro por parejas usando mínimos comunes múltiplos.

Count pairwise meeting days using least common multiples

Pista grande:

Resta de cada conteo por parejas los días en que se encuentran las tres.

Subtract the triple-meeting days from each pair count

Solución:

Las visitas por parejas ocurren cada

\operatorname{lcm}(3,4)=12

,

\operatorname{lcm}(3,5)=15

, y

\operatorname{lcm}(4,5)=20

días.

En los siguientes

365

días, estos conteos por parejas son

\left\lfloor\frac{365}{12}\right\rfloor=30

,

\left\lfloor\frac{365}{15}\right\rfloor=24

, y

\left\lfloor\frac{365}{20}\right\rfloor=18

.

Las tres visitan cada

60

días, lo que ocurre

\left\lfloor\frac{365}{60}\right\rfloor=6

veces. Restar esos días de cada conteo por parejas da

(30-6)+(24-6)

+(18-6)=54

.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Pairwise visits occur every

\operatorname{lcm}(3,4)=12

,

\operatorname{lcm}(3,5)=15

, and

\operatorname{lcm}(4,5)=20

days.

In the next

365

days, these pair counts are

\left\lfloor\frac{365}{12}\right\rfloor=30

,

\left\lfloor\frac{365}{15}\right\rfloor=24

, and

\left\lfloor\frac{365}{20}\right\rfloor=18

.

All three visit every

60

days, which happens

\left\lfloor\frac{365}{60}\right\rfloor=6

times. Subtracting those days from each pair count gives

(30-6)+(24-6)

+(18-6)=54

.

Thus, B is the correct answer.