Question

Cuatro puntos distintos están dispuestos en un plano de modo que los segmentos que los conectan tienen longitudes $a,$ $a,$ $a,$ $a,$ $2a,$ y $b.$ ¿Cuál es la razón de $b$ a $a$ ?

Four distinct points are arranged in a plane so that the segments connecting them have lengths $a,$ $a,$ $a,$ $a,$ $2a,$ and $b.$ What is the ratio of $b$ to $a?$

$\sqrt{3}$

$2$

$\sqrt{5}$

$3$

$\pi$

Respuesta: A

Conceptos:triángulo equilátero ángulo inscrito Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1930

Solución:

Consideremos los cuatro segmentos de longitud $a$ como aristas de un grafo sobre los cuatro puntos. Si no contuvieran un triángulo, formarían un ciclo de $4$ vértices. El segmento de longitud $2a$ sería entonces una de sus diagonales. Cada uno de los otros dos puntos daría un camino de dos aristas, de longitud total $2a$ , entre los extremos de la diagonal. La igualdad en la desigualdad triangular obligaría a que ambos puntos intermedios fueran el punto medio de esa diagonal, lo que contradice que los cuatro puntos sean distintos. Por tanto, tres puntos forman un triángulo equilátero de lado $a;$ llamémoslos $A,B,C.$

El cuarto punto $D$ está a distancia $a$ de uno de ellos, digamos $A,$ y a distancia $2a$ de otro, digamos $B.$ Como $BA+AD=BD,$ los puntos $B,A,D$ son colineales y $A$ es el punto medio de $\overline{BD}.$ Así, $BD$ es un diámetro del círculo que pasa por $B,C,D$ y tiene centro en $A,$ por lo que $\triangle BCD$ es rectángulo.

Así, $b^2=(2a)^2-a^2=3a^2$ , de modo que $b/a=\sqrt3$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Regard the four length- $a$ segments as edges of a graph on the four points. If they contained no triangle, they would form a $4$ -cycle. The length- $2a$ segment would then be one of its diagonals. Each of the other two points gives a two-edge path of total length $2a$ between the diagonal's endpoints. Equality in the triangle inequality would force both intermediate points to be the midpoint of that diagonal, contradicting that the four points are distinct. Therefore three points do form an equilateral triangle of side $a;$ call them $A,B,C.$

The fourth point $D$ is distance $a$ from one of these points, say $A,$ and distance $2a$ from another, say $B.$ Because $BA+AD=BD,$ the points $B,A,D$ are collinear and $A$ is the midpoint of $\overline{BD}.$ Thus $BD$ is a diameter of the circle through $B,C,D$ centered at $A,$ so $\triangle BCD$ is right.

Thus $b^2=(2a)^2-a^2=3a^2$ , so $b/a=\sqrt3$ .

Thus, A is the correct answer.

2012 AMC 10B Problema 21

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1930

Solución:

El Problema 21 en otros años