2008 AMC 10A Problema 7

Question

¿A cuál de las siguientes opciones se simplifica la fracción

\dfrac{\left(3^{2008}\right)^2 - \left(3^{2006}\right)^2}{\left(3^{2007}\right)^2 - \left(3^{2005}\right)^2}

?

The fraction

\dfrac{\left(3^{2008}\right)^2 - \left(3^{2006}\right)^2}{\left(3^{2007}\right)^2 - \left(3^{2005}\right)^2}

simplifies to which of the following?

1

\dfrac{9}{4}

3

\dfrac{9}{2}

9

\left(3^{2008}\right)^2 = 9^{2008}

.

\left(3^{2008}\right)^2 = 9^{2008}

Factoriza

9^{2005}

tanto del numerador como del denominador.

Factor

9^{2005}

out of both the numerator and the denominator

Como

\left(3^{k}\right)^2 = 9^{k},

la fracción es

\dfrac{9^{2008} - 9^{2006}}{9^{2007} - 9^{2005}}.

Factorizando

9^{2005}

en cada parte se obtiene

\dfrac{9^{2005}\left(9^3 - 9\right)}{9^{2005}\left(9^2 - 1\right)} = \dfrac{9\left(9^2 - 1\right)}{9^2 - 1} = 9.

Así, la respuesta correcta es E.

Since

\left(3^{k}\right)^2 = 9^{k},

the fraction is

\dfrac{9^{2008} - 9^{2006}}{9^{2007} - 9^{2005}}.

Factoring

9^{2005}

from each part gives

\dfrac{9^{2005}\left(9^3 - 9\right)}{9^{2005}\left(9^2 - 1\right)} = \dfrac{9\left(9^2 - 1\right)}{9^2 - 1} = 9.

Thus, the correct answer is E.

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