Question

El rectángulo $8 \times 18$ $ABCD$ se corta en dos hexágonos congruentes, como se muestra, de modo que los dos hexágonos pueden reubicarse sin traslape para formar un cuadrado. ¿Cuánto vale $y$ ?

The $8 \times 18$ rectangle $ABCD$ is cut into two congruent hexagons, as shown, in such a way that the two hexagons can be repositioned without overlap to form a square. What is $y?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Respuesta: A

Conceptos:área descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1190

Solución:

El área del rectángulo es $8 \cdot 18 = 144,$ así que el cuadrado formado tiene lado $\sqrt{144} = 12.$

Sean $E$ y $F$ los extremos superior e inferior del corte escalonado. Para que las dos piezas congruentes formen un cuadrado, los tres segmentos horizontales $DE,$ el segmento central de longitud $y,$ y $FB$ deben ser iguales. Juntos abarcan el ancho del rectángulo, por lo que $DE+y+FB=18$ da $3y=18$ y $y=6.$ En efecto, el cuadrado resultante tiene lado $2y=12,$ de acuerdo con el cálculo del área.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The rectangle's area is $8 \cdot 18 = 144,$ so the square formed has side $\sqrt{144} = 12.$

Let $E$ and $F$ be the upper and lower endpoints of the stair-step cut. For the two congruent pieces to fit into a square, the three horizontal segments $DE,$ the middle segment of length $y,$ and $FB$ must be equal. Together they span the rectangle's width, so $DE+y+FB=18$ gives $3y=18$ and $y=6.$ Indeed, the resulting square has side $2y=12,$ agreeing with the area calculation.

Thus, the correct answer is A.

2006 AMC 10A Problema 7

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1190

Solución:

El Problema 7 en otros años