Question

Sea $n$ el mayor entero que es el producto de exactamente $3$ números primos distintos, $d,$ $e,$ y $10d + e,$ donde $d$ y $e$ son cifras. ¿Cuál es la suma de las cifras de $n$ ?

Let $n$ be the largest integer that is the product of exactly $3$ distinct prime numbers, $d,$ $e,$ and $10d + e,$ where $d$ and $e$ are single digits. What is the sum of the digits of $n?$

$12$

$15$

$18$

$21$

$24$

Respuesta: A

Conceptos:primo dígitos enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

Tanto $d$ como $e$ son elementos distintos de $\{2,3,5,7\},$ y $10d+e$ también debe ser primo.

Empecemos con la mayor cifra de las decenas. Para $d=7,$ las opciones $e=5$ y $e=2$ dan los compuestos $75$ y $72,$ mientras que $e=3$ da el primo $73.$ Esto produce $n=7\cdot3\cdot73=1533.$

Para $d=5,$ las opciones $e=7$ y $e=2$ dan los compuestos $57$ y $52,$ mientras que $e=3$ solo da $5\cdot3\cdot53=795.$ Todo caso con $d\le3$ es a lo sumo $3\cdot7\cdot37=777.$ Por tanto, $1533$ es el mayor valor válido.

La suma de sus cifras es $1 + 5 + 3 + 3 = 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Both $d$ and $e$ are distinct members of $\{2,3,5,7\},$ and $10d+e$ must also be prime.

Start with the largest possible tens digit. For $d=7,$ the choices $e=5$ and $e=2$ give the composite numbers $75$ and $72,$ while $e=3$ gives the prime $73.$ This produces $n=7\cdot3\cdot73=1533.$

For $d=5,$ the choices $e=7$ and $e=2$ give the composite numbers $57$ and $52,$ while $e=3$ gives only $5\cdot3\cdot53=795.$ Every case with $d\le3$ is at most $3\cdot7\cdot37=777.$ Hence $1533$ is the largest valid value.

The sum of its digits is $1 + 5 + 3 + 3 = 12.$

Thus, the correct answer is A.

2003 AMC 10A Problema 14

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

El Problema 14 en otros años