Respuesta: 797

Solución:

Trabajamos módulo $8$ y $125.$ Para $n \ge 3$ tenemos $2^n \equiv 0 \pmod 8,$ así que necesitamos $n \equiv 5^n \pmod 8.$ Si $n$ es par, entonces $5^n \equiv 1,$ lo que obliga a que el número par $n$ sea $\equiv 1 \pmod 8,$ imposible; así que $n$ es impar, $5^n \equiv 5,$ y $n \equiv 5 \pmod 8.$ Además $5^n \equiv 0 \pmod{125}$ para $n \ge 3,$ así que necesitamos $n \equiv 2^n \pmod{125}.$

El orden de $2$ es $4$ módulo $5,$ $20$ módulo $25,$ y $100$ módulo $125.$ Como $n \equiv 5 \pmod 8$ da $n \equiv 1 \pmod 4,$ obtenemos $2^n \equiv 2 \pmod 5,$ así que $n \equiv 2 \pmod 5$ y por lo tanto $n \equiv 17 \pmod{20}.$ Entonces $2^n \equiv 2^{17} = 2^{10} \cdot 2^7$ $\equiv (-1)(3) \equiv 22 \pmod{25},$ así que $n \equiv 22 \pmod{25},$ lo que junto con $n \equiv 1 \pmod 4$ da $n \equiv 97 \pmod{100}.$ Finalmente $2^{10} \equiv 24,$ $2^{20} \equiv 76,$ $2^{40} \equiv 26,$ $2^{80} \equiv 51 \pmod{125},$ así que lo que da $n \equiv 47 \pmod{125}.$ $$\begin{aligned} &2^n \equiv 2^{97} = 2^{80} \cdot 2^{10} \cdot 2^7 \\ &\equiv 51 \cdot 24 \cdot 3 \equiv 47 \pmod{125}, \end{aligned}$$

Combinando $n \equiv 47 \pmod{125}$ con $n \equiv 5 \pmod 8$ se obtiene $n \equiv 797 \pmod{1000},$ y $n = 1, 2$ fallan por comprobación directa, así que el menor $n$ de este tipo es $797.$