Question

El triángulo

ABC

satisface

AB=9

y

BC:AC=40:41.

¿Cuál es el área máxima que puede tener?

Triangle

ABC

has

AB=9

and

BC:AC=40:41.

What’s the largest area that this triangle can have?

Respuesta

Toma

BC=40t,

AC=41t,

y aplica la ley de los cosenos con

AB=9

Set

BC=40t,

AC=41t,

and use the Law of Cosines with

AB=9

Expresa el área como función de

\cos C

y maximiza su cuadrado

Express the area as a function of

\cos C

and maximize its square

Toma

BC=40t,

AC=41t,

y

x=\cos C.

La ley de los cosenos da

81=t^2(3281-3280x),

mientras que el área es

820t^2\sqrt{1-x^2}.

Por consiguiente, es igual a

820\cdot81\,\frac{\sqrt{1-x^2}}{3281-3280x}.

Al derivar su logaritmo, se observa que el máximo ocurre cuando

x=\frac{3280}{3281}.

Entonces

\sqrt{1-x^2}=\frac{81}{3281}

y

3281-3280x=\frac{6561}{3281},

de modo que el área máxima es

820.

Set

BC=40t,

AC=41t,

and

x=\cos C.

The Law of Cosines gives

81=t^2(3281-3280x),

while the area is

820t^2\sqrt{1-x^2}.

Hence it equals

820\cdot81\,\frac{\sqrt{1-x^2}}{3281-3280x}.

Differentiating its logarithm shows the maximum occurs at

x=\frac{3280}{3281}.

Then

\sqrt{1-x^2}=\frac{81}{3281}

and

3281-3280x=\frac{6561}{3281},

so the maximum area is

820.