Question

Halla el valor de

\begin{aligned} 10\cot\bigl(&\cot^{-1}3+\cot^{-1}7\\ &{}+\cot^{-1}13+\cot^{-1}21\bigr). \end{aligned}

Find the value of

\begin{aligned} 10\cot\bigl(&\cot^{-1}3+\cot^{-1}7\\ &{}+\cot^{-1}13+\cot^{-1}21\bigr). \end{aligned}

Respuesta

Usa

\cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}

Use

\cot(\alpha+\beta)=\frac{\cot\alpha\cot\beta-1}{\cot\alpha+\cot\beta}

Combina los cuatro ángulos de cotangente inversa de dos en dos, de izquierda a derecha

Combine the four inverse-cotangent angles two at a time from left to right

Sea

\alpha=\cot^{-1}3+\cot^{-1}7.

La fórmula de adición de la cotangente da

\begin{aligned} \cot\alpha&=\frac{3\cdot7-1}{3+7}\\ &=2. \end{aligned}

Al combinar el siguiente ángulo se obtiene

\frac{2\cdot13-1}{2+13}=\frac53,

y al combinar el último se obtiene

\frac{(\frac{5}{3})\cdot21-1}{\frac{5}{3}+21}=\frac32.

Al multiplicar por

10

se obtiene

15.

Let

\alpha=\cot^{-1}3+\cot^{-1}7.

The cotangent addition formula gives

\begin{aligned} \cot\alpha&=\frac{3\cdot7-1}{3+7}\\ &=2. \end{aligned}

Combining the next angle gives

\frac{2\cdot13-1}{2+13}=\frac53,

and combining the last gives

\frac{(\frac{5}{3})\cdot21-1}{\frac{5}{3}+21}=\frac32.

Multiplying by

10

yields

15.