Question

对任意复数 $w=a+bi$ ，将 $|w|$ 定义为实数 $\sqrt{a^2+b^2}$ 。若 $w=\cos40^\circ+i\sin40^\circ$ ，则 $|w+2w^2+3w^3+\cdots+9w^9|^{-1}$ 等于

For any complex number $w=a+bi,$ $|w|$ is defined to be the real number $\sqrt{a^2+b^2}.$ If $w=\cos40^\circ+i\sin40^\circ,$ then $|w+2w^2+3w^3+\cdots+9w^9|^{-1}$ equals

$\frac19\sin40^\circ$

$\frac29\sin20^\circ$

$\frac19\cos40^\circ$

$\frac1{18}\cos20^\circ$

以上都不是

none of these

答案：B

知识点：复数单位根差比数列

难度评级：2460

小提示：

令 $S=w+2w^2+\cdots+9w^9$ ，再把 $wS$ 从 $S$ 中减去

Let $S=w+2w^2+\cdots+9w^9$ and subtract $wS$ from $S$

大提示：

使用 $w^9=1$ 和 $|1-e^{i\theta}|=2\sin(\frac{\theta}{2})$

Use $w^9=1$ and $|1-e^{i\theta}|=2\sin(\frac{\theta}{2})$

解答：

令 $S=\sum_{k=1}^9kw^k$ 。由于 $w^9=1$ ，且 $w^{10}=w$ ， $\begin{aligned} (1-w)S &=(w+w^2+\cdots+w^9)\\ &\quad-9w^{10}\\ &=-9w \end{aligned}\text{。}$ 所以 $|S|=\frac{9}{|1-w|}$ ，这是因为 $|w|=1$ 。因此 $|S|^{-1}=\frac{|1-w|}{9} =\frac{2}{9}\sin20^\circ\text{。}$ 所以正确答案是 B。

Let $S=\sum_{k=1}^9kw^k.$ Since $w^9=1$ and $w^{10}=w,$ $\begin{aligned} (1-w)S &=(w+w^2+\cdots+w^9)\\ &\quad-9w^{10}\\ &=-9w. \end{aligned}$ Therefore $|S|=\frac{9}{|1-w|},$ because $|w|=1.$ Thus $|S|^{-1}=\frac{|1-w|}{9} =\frac{2}{9}\sin20^\circ.$ Therefore, the correct answer is B.

1984 AMC 12 第 30 题

答案：B

难度评级：2460

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题