Question

在 $\triangle ABC$ 中， $E$ 是边 $BC$ 的中点， $D$ 位于边 $AC$ 上。若 $AC$ 的长度为 $1$ ，且 $\angle BAC=60^\circ$ 、 $\angle ABC=100^\circ$ 、 $\angle ACB=20^\circ$ 、 $\angle DEC=80^\circ$ ，则 $\triangle ABC$ 的面积加上 $\triangle CDE$ 面积的两倍等于

In $\triangle ABC,$ $E$ is the midpoint of side $BC$ and $D$ is on side $AC.$ If the length of $AC$ is $1$ and $\angle BAC=60^\circ,$ $\angle ABC=100^\circ,$ $\angle ACB=20^\circ,$ and $\angle DEC=80^\circ,$ then the area of $\triangle ABC$ plus twice the area of $\triangle CDE$ equals

$\frac14\cos10^\circ$

$\frac{\sqrt3}{8}$

$\frac14\cos40^\circ$

$\frac14\cos50^\circ$

$\frac18$

答案：B

知识点：三角形面积全等（几何）相似等边三角形

难度评级：2200

小提示：

延长 $AB$ 至 $F$ ，使 $AF=AC$ ，从而构造等边三角形

Extend $AB$ to $F$ so that $AF=AC$ , creating an equilateral triangle

大提示：

在 $BF$ 上取点 $G$ ，使 $\angle BCG=20^\circ$ ；比较 $\triangle BCG$ 与 $\triangle DCE$

Choose $G$ on $BF$ with $\angle BCG=20^\circ$ ; compare $\triangle BCG$ with $\triangle DCE$

解答：

将 $AB$ 经过 $B$ 延长至 $F$ ，使 $AF=AC=1$ 。则 $\triangle ACF$ 为等边三角形。在 $BF$ 上取点 $G$ ，使 $\angle BCG=20^\circ$ 。由角度条件可得 $\triangle FGC\cong\triangle ABC$ ，且 $\triangle BCG\sim\triangle DCE$ 。因为 $E$ 是 $BC$ 的中点，所以相似比为 $2$ ，从而 $[BCG]=4[CDE]\text{。}$ 分割这个等边三角形可得 $\frac{\sqrt3}{4} =2[ABC]+4[CDE]\text{。}$ 两边除以 $2$ ，得到 $[ABC]+2[CDE]=\frac{\sqrt3}{8}$ 。

因此，正确答案是 B。

Extend $AB$ through $B$ to $F$ with $AF=AC=1.$ Then $\triangle ACF$ is equilateral. Choose $G$ on $BF$ so that $\angle BCG=20^\circ.$ The angle conditions give $\triangle FGC\cong\triangle ABC,$ while $\triangle BCG\sim\triangle DCE.$ Since $E$ is the midpoint of $BC,$ the similarity scale is $2,$ so $[BCG]=4[CDE].$ Decomposing the equilateral triangle gives $\frac{\sqrt3}{4} =2[ABC]+4[CDE].$ Dividing by $2$ yields $[ABC]+2[CDE]=\frac{\sqrt3}{8}.$

Therefore, the correct answer is B.

1979 AMC 12 第 30 题

答案：B

难度评级：2200

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 30 题