1955 AMC 12 第 30 题

Question

方程

3x^2-2=25

、

(2x-1)^2=(x-1)^2

、

\sqrt{x^2-7}=\sqrt{x-1}

都满足：

Each of the equations

3x^2-2=25,

(2x-1)^2=(x-1)^2,

\sqrt{x^2-7}=\sqrt{x-1}

has:

有两个整数根

two integral roots

没有大于

3

的根

no root greater than

3

没有零根

no root zero

只有一个根

only one root

有一个负根和一个正根

one negative root and one positive root

答案：B

知识点：equation solving radical domain common property

难度评级：1670

小提示：

分别解每个方程，再比较各自根的性质

Solve each equation separately and compare the properties of their roots

大提示：

对根式方程，舍去使任一被开方数为负的候选值

For the radical equation, reject candidates that make either radicand negative

解答：

第一个方程给出

x=\pm3

。对第二个方程作平方差因式分解，得到

\begin{aligned} &[(2x-1)-(x-1)]\\ &\quad\cdot[(2x-1)+(x-1)]\\ &\qquad=x(3x-2)=0 \end{aligned}\text{，}

所以

x=0

或

\frac{2}{3}

。将第三个方程两边平方，得到

x^2-x-6=0

，候选值为

3

和

-2

；只有

3

满足实数定义域的限制。所得的每个根都不大于

3

。

因此，每个方程都没有大于

3

的根，正确答案是 B。

The first equation gives

x=\pm3.

Factoring the difference of squares in the second gives

\begin{aligned} &[(2x-1)-(x-1)]\\ &\quad\cdot[(2x-1)+(x-1)]\\ &\qquad=x(3x-2)=0, \end{aligned}

so

x=0

or

\frac{2}{3}.

Squaring the third gives

x^2-x-6=0,

with candidates

3

and

-2;

only

3

satisfies the real-domain restrictions. Every root obtained is at most

3.

Thus, each equation has no root greater than

3,

and the correct answer is B.

1955 AMC 12 第 30 题

答案：B

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

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